Точность получения оценки определяется дисперсией ошибки
г д е v вычисляют по формуле ( 1 1 .2 1 ) .
Реализация алгоритма получения оптимальной оценки по фор муле (11.13) встречает определенные технические трудности, которые прежде всего связаны с воспроизведением весовой функции. Опреде лить весовую функцию путем решения дифференциального уравне ния (11.16) на аналоговых вычислительных машинах из-за неустой чивости этого уравнения технически невозможно. При решении этой задачи на цифровых машинах требуется очень высокая точность. Поэтому целесообразно поставить вопрос о построении приближен ного алгоритма получения оценки . Этот алгоритм должен быть квазиоптимальным (субоптимальным), т. е. близким к оптимальному в смысле точности и одновременно простым в технической реали зации.
Идея построения квазиоптимального алгоритма получения оценки
вытекает из |
анализа графиков весовой функции, представленных |
на рис. 11.1, |
11.2 и вычисленных при значениях параметров, приве |
денных в числовом примере данного параграфа. Заменим весовую функцию на интервале наблюдения постоянной величиной. Замена выполняется из условия равенства площадей, ограниченных графи ком весовой функции и линией среднего значения на интервале на блюдения. С физической точки зрения такая замена эквивалентна замене реальной помехи эквивалентным белым шумом.
Введем среднее значение весовой функции по формуле
|
г |
|
9 |
о |
(1L23) |
|
где G3 — эквивалентная интенсивность белого шума, которую опре |
деляют по формуле (11.23): |
|
i - i |
|
jg-(71, т) dx |
Gs = |
|
Рис. 11.1. График весовой функции
Подставляя значение весовой функции, после вычислений полу чаем
|
a-s |
1 — |
4 0 ,у (1 - e + v 7) (у -|- «) |
(11.24) |
> с р |
?2G,v |
Gi\>Tу [(у -|- а )2 е'уГ — (у — а )2 е v7'j |
Используя среднее значение весовой функции, запишем алго ритм получения оптимальной оценки (11.13) в виде выражения
у* _ |
Dgzp |
г |
J X (т) dx. |
(1 |
-I- DgcpT) S |
|
Вместо среднего значения можно подставить эквивалентную ин тенсивность белого шума. Тогда формула оптимальной оценки при нимает вид
где эквивалентное отношение сигнал/шум
Как следует из формулы (11.25), замена весовой функции сред ним значением действительно дает алгоритм, аналогичный алго ритму при помехе в виде белого шума.
Оценим точность получения коэффициента усиления в случае квазиоптимального алгоритма. Дисперсия квазиоптимальной оценки коэффициента усиления
£>** = M[(V — К*)2] = М [V2]— 2М [VV*] + М [К*2].
Подставляя значение оценки и применяя операцию математичес
кого ожидания, |
получаем |
|
|
|
n** _ |
D |
f1 , |
v3G;y . |
2уэ£),уО,у |
1— |
—e-er)J}. (П-26) |
~ |
(1 + v3)2 |
^ |
sW3 1" |
s2G3 |
Сравнительная оценка точности оптимальной и субоптимальной |
систем может быть проведена по величине |
|
|
|
|
Т1= ( 4 ^ - 1 ) |
100%- |
(11-27) |
Отличие дисперсии оценки в субоптимальной системе от диспер сии оценки в оптимальной системе невелико, поэтому относительная ошибка обычно не превышает 10—15%.
Пример. Рассмотрим числовой пример получения оптимальной оценки коэффи
циента усиления при следующих значениях параметров; а = |
7 с"1, s = 1, G,v = |
= 5- 10_<1В3-с, D,v = 2,75-10~3 В2, £> = |
8,1-10”3 В2. На рис. |
11.1 |
приведены гра |
фики оптимальной весовой функции для |
трех времен наблюдения: |
7’ = 0 ,5 с , Т — |
— 1,0 с, 7’= 2,0 с. На рис. 11.2 приведены графики весовой функции для двух зна чений дисперсии помехи и Т = 1 с. Среднее значение весовой функции при Т = 1с
О |
1 |
2 |
3 |
It Т,с |
Рис. 11.4. Зависимость дисперсии ошиб |
Рис. 11.3. |
Зависимость |
дисперсии |
ошибки |
от |
времени |
наблюдения |
ки от дисперсии помехи |
и примятых выше остальных параметрах, вычисленное по формуле (11.24), равно
gcp = 8,56-102. Эквивалентная интенсивность белого шума при |
этом G3 = 1,17Х |
X 10" 3 В2 с, эквивалентное |
отношение сигнал/шум v3 = 6,94. |
|
Субоптимальиая оценка |
определяется формулой |
|
|
1 |
|
|
V* = 0,41 J X (т) dx. |
(11.28) |
|
о |
|
Отношение сигнал/шум для оптимальной схемы обработки си гнала, вычисленное по формуле (11.21), v = 7,75.
Точность оптимальной оценки определяется апостериорной ди сперсией (11.22). Величина этой дисперсии для рассматриваемых значений параметров D* = 0,925-10~3Ва. Это значит, что в резуль тате измерения коэффициента усиления его априорная дисперсия уменьшилась в 8 раз.
На рис. 11.3 и 11.4 показаны графики зависимости апостериор ной дисперсии от времени наблюдения и дисперсии помехи.
Вычислим апостериорную |
дисперсию субоптимальной оценки. |
В соответствии с формулой |
(11.26) имеем D** = 1,02 ■10_3В2. |
Сравнение с дисперсией оптимальной оценки показывает, что при субоптимальной оценке коэффициента усиления по формуле (11.28) имеет место потеря в точности. Относительное ухудшение точности в единицах дисперсии, вычисленное по формуле (11.27), равно 10,3%. Таким образом, субоптимальный алгоритм (11.28), легко реализуе мый с помощью различных технических устройств, обеспечивает точность определения оценки, весьма близкую к потенциальной точности.
11.3. Измеритель скорости
Синтезируем оптимальную систему оценки скорости изменения полезного сигнала, представляющего собой линейную функцию времени
5 (0 = U 1 -!- U J ,
где Ult U — некоррелированные между собой случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями D lt D.2 соответственно.
Полезный сигнал наблюдается совместно с помехой
X (t) = S (0 + N ((),
имеющей нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию
KN(l, П = Gn8 ( t - t ' ) .
Требуемым выходным сигналом идеальной системы является производная полезного сигнала
П (0 =
Критерием оптимальности системы считаем минимум среднего
квадрата ошибки.
Для решения поставленной задачи воспользуемся общим алго
ритмом (см. п. 10.7). |
В рассматриваемом случае п = 2; |
срх (I) = |
1; |
Фз ( 0 “ |
Ф1 ( Т ) = |
Фа (Т') = К Си = l/7 )ii ^22 ~ |
1/ D 2', Ci2 |
= |
;= С 21 |
0 . |
|
|
|
Весовую функцию оптимальной системы вычисляют по формуле
g (Т, т) = (Т, х) + (Т, т),
где весовые функции gt (Т, т) определяются решением интегральных уравнений
g (Т, а) Км (х, o)da = срх (т);
(11.29)
g 2 (Т, а) Км (х, а) da = ср2 (т),
а коэффициенты Х{ из системы линейных алгебраических уравнений
(&и + |
Сц)^! |
Ь12Х2 = |
фх; | |
^ 21^ 1 Ч ” ( ^ 2 2 4 “ |
С 2 г ) ^ 2 = Ф г 1 I |
В этих уравнениях |
величины |
|
Ьц |
вычисляются по формулам |
J |
|
|
|
|
|
Ьц = Jffi (Т, |
т)фх (x)dx; |
blt |
= |
£>21 = |
о |
|
|
|
|
(11.31) |
т |
|
|
т |
|
|
|
|
|
— J gi (Т, т)ф2 (x)dx; b22= |
[ g а (Г, х)<р3 (т) dx |
Точность получения оценки скорости вычисляют в данном слу чае по формуле
D* = К1^>1 + А.2ф2,
где D* — дисперсия ошибки.
Проведем вычисления. Подставляя значения корреляционной
функции помехи |
и функций ср(. (х) |
в уравнения (11.29), получаем |
gi(T, |
х) = |
1(Г -х ). |
g-z |
(Т, т) = |
( Т - т) |
|
|
Gn ’ |
|
|
Gn |
