Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Подставляя значения величин Ьц и Сц и выполняя некоторые

Таким образом, весовая функция оптимальной системы опреде­ ляется выражением

Оптимальная оценка скорости изменения входного сигнала

303

На основании выражения (11.32) весовая функция оптимальной системы при бесконечных дисперсиях параметров

На рис. 11.5 приведены графики среднего квадратического откло­ нения ошибки измерения скорости в функции времени наблюдения при следующих данных: D x = 1 град2; D 2 = 1 град2 -с2; GN = = 10-5 рад2 -с и G,v = 10_в рад2 -с.

11.4. Фильтр для случайного процесса

Рассмотрим задачу синтеза оптимальной системы, обеспечиваю­ щей выделение полезного сигнала S (I), наблюдаемого совместно с помехой N (i). Входной сигнал

X (() = S ( i ) + N (/).

Случайные функции 5 (/) и N (/) есть некоррелированные слу­ чайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и спек­ тральными плотностями:

где GjV— интенсивность белого шума.

Требуемым выходным сигналом является полезный сигнал

П (0 = S (О-

Наблюдение входного сигнала ведется на бесконечном интервале времени, что практически соответствует условию значительного превышения интервала наблюдения времени корреляции входного сигнала.

Оптимальная частотная характеристика системы, дающая мини­ мум среднего квадрата ошибки при выполнении сформулированных

характеристика и ей сопряженная характеристика фильтра, форми­ рующего из белого шума V (t) с единичной спектральной плотностью наблюдаемый входной сигнал X (t); функция Sy^x (со) — взаимная

спектральная плотность требуемого выходного и входного сигнала. Знак «плюс» у квадратной скобки в формуле (11.35) означает, что все нули и полюса выражения в этой скобке находятся в верхней полуплоскости комплексной переменной со.

Передаточная функция оптимальной системы определяется из частотной характеристики заменой переменной /со на комплексное

304

Знак «плюс»' в данной формуле означает, что все корни функции, стоящей в квадратной скобке, находятся в левой полуплоскости комплексной переменной s. С физической точки зрения это условие означает требование устойчивости оптимальной системы.

Частотная характеристика формирующего фильтра связана со спектральной плотностью наблюдаемого сигнала соотношением

в выборе частотной характеристики устраняется, если учесть требо­ вание устойчивости системы.

Полезный сигнал и помеха иекоррелированы. Поэтому спектраль­ ная плотность входного сигнала есть сумма спектральных плотно­

где

Р2 = а 2 + 2DalGN.

Представим левую часть выражения (11.36) в виде произведения комплексно-сопряженных сомножителей:

Второй сомножитель в левой части этого выражения содержит нуль и полюс в нижней полуплоскости комплексной переменной со. Действительно, нуль достигается при со = —/|3, а полюс при со = = —/а. Таким образом, в частотной характеристике формирующего фильтра следует выбрать первый сомножитель, который имеет нуль и полюс в верхней полуплоскости со, что соответствует устойчивой системе

Вычислим взаимную спектральную плотность требуемого выход­ ного и входного сигналов. Поскольку полезный сигнал и помеха иекоррелированы между собой, а требуемый сигнал равен полез­ ному сигналу, то спектральная плотность SVt.v ( со) равна спектраль­

Преобразовывая это.выражение, получаем

Разложим это выражение без учета постоянного множителя на элементарные дроби:

Приводя к общему знаменателю правую часть и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях соотношения (11.38), полу­ чаем два уравнения относительно коэффициентов А и В:

В — А = 0; Лр + Ва = 1.

Отсюда получаем В = Л; А = 1/ (a + Р). Первый член в правой части выражения (11.38) имеет полюс в верхней полуплоскости комплексной переменной со, а второй — в нижней полуплоскости. Поэтому следует отбросить второй член. В результате отношение в квадратной скобке

Подставляя это выражение и частотную характеристику (11.37) в формулу (11.35), получаем частотную характеристику оптималь­

Таким образом, оптимальная система для выделения полезного сигнала со спектральной плотностью

Ss (со) = Da/я (а2 + со2)

из аддитивной смеси с белым шумом представляет собой инерционное звено.

Точность выделения полезного сигнала оптимальной системой оценивается средним квадратом ошибки. Ошибкой системы является разность

Е (0 = Y (0 - П (0-

306

Математическое ожидание ошибки равно нулю, а дисперсия вычисляется по формуле

De = Dyт — DlJy

где Dy —дисперсия выходного сигнала оптимальной системы.

В рассматриваемом случае DUt = = DS, а

_| Gt\ik~

У ~ 14- аТ "г" 2Т

или, используя выражения для параметра v (11.40), имеем

г, — Г, V(1 + V+ 1/~1 + у)

"s (i + / r + ^ ) 31/T+v'

Таким образом, дисперсия ошибки выделения полезного сигнала оптимальной системой

D z = D t

V(1 -f V-f 1/~1 + у) (1 + КПГТ)314Г+Т

При бесконечно большой интенсивности помехи (GjV = оо) пара­ метр v = 0 и дисперсия ошибки равна дисперсии полезного сигнала. При отсутствии помехи (v = оо) и дисперсия ошибки равна нулю.

На рис. 11.6 приведены графики зависимости коэффициента усиления k, величины аТ и относительной дисперсии ошибки D*IDS как функции безразмерного параметра v, характеризующего отноше­ ние сигнал/шум.

11.5. Экстраполятор случайного процесса

Рассмотрим задачу построения оптимальной системы,, осуще­ ствляющей прогнозирование на время Д полезного сигнала, наблю­ даемого совместно с помехой N (t). Входной сигнал

Полезный сигнал и помеха некоррелированы между собой, имеют нулевые математические ожидания и спектральные плотности