Требуемым выходным сигналом является экстраполированное на время Д значение полезного сигнала
Y T(i) = S (t + A).
Входной сигнал наблюдается на бесконечном интервале времени. Определим фильтр, формирующий из белого шума с единичной спектральной плотностью входной сигнал (11.41) из соотношения
Sx (со) = Ф (ко)Ф* (/со).
Спектральная плотность входного сигнала
о |
, ч _ |
D s а (Р3 + со2) + ДдФ («3 + со") |
[ |
>~ |
я (а2 + со2) (Р- + со2) |
Представляя спектральную плотность в виде комплексно-сопря женных сомножителей, получаем
|
S Ссо) = |
Л / |
Д уР |
(Л -|- ссо) |
X |
|
(а-|-/со) (Р + /со) |
|
•v ' |
' |
У |
я |
|
|
|
х - |
j / |
Д+ у Р . |
|
О — Ф ) |
(11.42) |
|
|
|
|
|
(а — /со) (р — /со) ’ |
|
|
где |
|
|
h — |
DsaP2 -|- Д\фа2 |
|
Dsа -Т Д \'Р |
|
|
Анализируя расположение нулей и полюсов выражения (11.42), выбираем в качестве частотной характеристики формирующего филь тра выражение
® (im)= j / D £ ± M |
ll + /со |
/co) |
(11.43) |
|
(a+/co)(P + |
|
Взаимная спектральная плотность требуемого выходного и вход ного сигналов есть взаимная спектральная плотность полезного сигнала и его сдвинутого на время Д значения:
>Утх (со) = Dsа аД
Отношение этой спектральной плотности к комплексно-сопряжен ной частотной характеристике формирующего фильтра
S v-tx (со) |
i |
f |
AsQV* |
„ _ а д |
Р — |
(11.44) |
Ф* (/со) |
У |
n ( l + v x ) |
|
(а + |
/со) (Л — /со) ’ |
где введены параметры |
|
Ds |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v — D |
|
|
|
|
|
|
|
'.V |
|
|
|
|
Осуществляя разложение на элементарные дроби, получаем |
|
р — /со |
_ |
А |
, |
В |
(11.45) |
__________ |
_ |
|
4- |
|
(а + /со) (Л — /со) |
а + /со 1 li — /со |
|
Рассматривая данное соотношение как тождество, определяем коэффициенты А и В:
A = ~ r i — ; В = 1 + А .
Учитывая, что полюс у второго слагаемого в формуле (11.45) расположен в нижней полуплоскости комплексной переменной со, отбрасываем его. В результате отношение (11.44) при условии рас положения нулей и полюсов в верхней полуплоскости
S!>TX |
1 _ |
Ds«VK |
ад |
Р + И |
Ф* (('со) |
J+ |
У я (I + vx) |
(а + |
/г) (а + ш )' |
Поделив это выражение на соотношение (11.43), получаем частот ную характеристику оптимальной системы:
* № = А- т т ш - > |
О 1-46) |
где введены следующие обозначения:
т = _1 ; |
т . И |
/ 1 + у* . |
ь = ________у (1+ у.) е~~аА_______ |
Р ’ |
а К |
1 + v / x ’ |
l + v K + l/'(l-l-v 5 t)(l+ v /x ) ' |
Заменяя в выражении (11.46) ico на комплексное число s полу чаем передаточную функцию экстраполятора
Точность оптимальной системы определяется дисперсией ошибки
£>е = Ds — 00J | ф (ш) |2S* (со) da.
Подставляя в эту формулу значения частотной характеристики оптимальной системы и спектральной плотности входного сигнала и выполняя вычисления, получаем
k2 (1 |
+<хт2/Т) |
k2(1 + Рт2/Г) - |
1 |
+ ссТ |
v (l + PT) |
Рассмотрим частные случаи. При нулевом времени прогнозиро вания (Д = 0) изменяется лишь коэффициент усиления, в котором множитель е~“л становится равным единице.
При равенстве характерных частот спектральных плотностей полезного сигнала и помехи а = |3 параметры оптимальной системы равны соответственно
Т==1 Г : Т = ~а = “|Г ’ k ~ Т + Т ’ d e = D syq -^-.
Таким образом, если ширина спектра полезного сигнала равна ширине спектра помехи, то оптимальный фильтр представляет собой безынерционный усилитель с коэффициентом усиления, зависящим
кеай
Рис. 11.7. Зависимость величины |
Рис. 11.8. |
Зависимость относитель |
х(Т от параметра |
ного коэффициента усиления фильт |
|
ра |
от параметра v |
от соотношения дисперсии сигнала и помехи, которая в данном слу чае становится составной частью полезного сигнала.
При отсутствии помехи (DN = 0) параметры оптимальной системы
соответственно |
равны: v = оо; |
т = 1/(5; Т = 1/(5; /г = e-ctA; Dе = |
= D ,( 1 — kr). |
Если решается |
только задача выделения |
сигнала, |
то Д = 0 и k = |
1. Следовательно, оптимальным фильтром |
является |
безынерционный усилитель с единичным коэффициентом усиления. Дисперсия ошибки фильтра равна нулю.
На рис. 11.7 приведены графики относительной величины тIT в функции отношения дисперсий сигнала и помехи v при различных
значениях параметра х = |
а/(5. |
При v = 0, тIT = |
х; при х = О |
и любом v t IT = 0; при х |
= 1,0 |
и любом vxlT = 1. |
Ha рис. 11.8 |
даны графики зависимости относительного коэффициента усиления фильтра йеаЛ в функции отношения дисперсий сигнала и помехи при различных значениях параметра х.
11.6. Система стабилизации высоты полета самолета
Линеаризованные относительно программной траектории урав нения движения самолета в продольной плоскости имеют вид
|
|
АН = |
|
|
|
I = |
Аа (« — а т) + AaWy/v, |
(11.47) |
сх -)- С^а |
-(- СаСх |
= Со — С6б — CaWy/v — С^ Wy/v, |
|
где АН — отклонение |
высоты полета |
от программного |
значения; |
v — скорость |
полета; |
£ — отклонение |
угла наклона вектора ско |
рости от программного значения; Аа, |
Аа, Са, Cd, Со, Се, С«, С^ — |
аэродинамические коэффициенты, характеризующие конструкцию самолета и условия полета; ат— теоретическое (программное)
значение угла атаки; б — угол отклонения руля высоты; WtJ— вертикальная составляющая вектора скорости ветра. Аэродинами ческие коэффициенты в уравнениях (11.47) выражаются следующими формулами:
c«qs
|
|
Аа = |
|
|
|
|
|
Са — —’ {ml"1+ < ) |
^ |
-Ь Ла; |
|
|
|
|
|
vJz_ |
|
|
|
|
|
|
6 l£§_. |
|
|
|
|
Сб — —1П.' |
’ |
|
|
|
г —_пга |
lzqS |
■m<?Zl -т~77 |
+ |
Аа>’ |
(1! .48) |
' - ' а — |
Inzl |
г |
|
|
Jуу |
|
|
|
|
|
Сс |
— tn |
1—--- |
|
|
|
|
=пг |
|
я* |
d t |
\ V |
) ’ |
|
|
|
|
|
+ ^я — Ах— + / < ^ 2 |
^ |
|
/ |
a 1-,qS |
/ |
о)_ /10S |
|
Са = —П1^ Т^Г + |
|
|
/ г21) ’ |
|
В формулах (11.48)- |
Т * ,— составляющая |
тяги |
на продольную |
ось самолета, С“ , т “ , т “ , /п”г‘ — аэродинамические |
коэффициенты, |
зависящие от числа Л4; q = ро2/2 — скоростной напор; 3 — харак
терная площадь (площадь крыла), |
1г — характерный |
размер (раз |
мах крыла); J гг — момент инерции |
корпуса самолета |
относительно |
оси ozг. |
|
|
Считая за выходную величину отклонения высоты АЯ, а за вход
ную — угол отклонения руля высоты б, |
представим самолет |
как |
объект управления со структурной схемой, |
показанной на рис. |
11.9. |
Рис. 11.9. Структурная схема объекта управления
