|
8- |
|
-С8- |
АН |
8 |
|
ki _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S' +CgS+Cg |
|
sHT^s^TjS+i) |
АН |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.10. |
Преобразованная структу |
|
Рис. 11.11. |
Упрощенная |
структурная |
|
рная схема объекта |
управления |
|
схема |
объекта |
управления |
|
|
—ЛаКОт Н- AaWy |
|
|
|
|
|
|
|
В —-----------------=------------------- г |
Преобразуем |
структурную схему, |
|
AaoCg/~CaAaWy—iС£Aa\Vy |
|
приведя |
все возмущения |
к выходу |
|
+ |
s 2 (s~-j- |
С • |
s *■{- С \ |
(рис. 11.10). Для некоторого упро |
|
|
\ |
1 |
а |
' а) |
|
|
|
|
|
|
щения |
задачи |
будем |
считать все |
коэффициенты в уравнениях (11-47) постоянными и аппроксимируем
суммарное |
возмущение от турбулентности атмосферы |
выражением |
|
|
|
А„ |
(11.49) |
|
|
St ■^W y, |
где |
Аа = |
А а — СаАа/Са, |
s — комплексное число. |
В выраже |
нии |
(11.49) принято Wy = 0; |
а т «=< С0/Са; динамика движения само |
лета |
относительно центра |
массы не учитывалась. |
Представле |
ние (11.49) соответствует случаю отсутствия стабилизации самолета по углу тангажа. При наличии высококачественной системы стаби
лизации по углу тангажа следует положить Аа = Аа.
При аппроксимации выражения (11.49) структурная схема объекта
управления принимает вид |
схемы, изображенной на рис. 11.11. |
На схеме введены обозначения |
|
|
£ _ _ CfiAgV |
гр _ |
Т % __J _ • |
а"__ А __ С<х А |
Сое |
’ |
*2 — |
о.\— |
г' |
|
|
|
Рассмотрим постановку задачи синтеза оптимальной системы стабилизации высоты полета. Наблюдаемым сигналом X (t) является случайная функция времени, представляющая собой сумму полез ного сигнала 5 (t) и помехи N (f):
X (t) = S (t) + N (t).
Полезный сигнал можно представить в виде суммы регулярной и нерегулярной частей:
|
|
|
|
S (0 |
= 5 ПР (0 + St (О, |
где 5 пр (t) = |
U 0 |
+ |
U xt + |
U |
— программа изменения высоты |
полета, |
а функция |
S x (/) |
определяется формулой (11.49). Вели |
чины 0 |
о, U х, |
U 2 |
будем считать |
некоррелированными между собой |
и с нерегулярной частью сигнала случайными величинами с нуле выми математическими ожиданиями и дисперсиями D 0, D lt D 2 соответственно. Составляющая скорости ветра Wu (t) является ста-
312
ционарной случайной функцией времени со спектральной плот ностью (см. п. 3.3)
1+ Зсо~L2njv-
5n(co) = a ^ 4 v (1 + < А > 8)2
где Ln — масштаб турбулентности; o~w— дисперсия скорости ветра; v — скорость полета. При Ln = 200 м, как это следует из графиков, рассмотренных в п. 3.3, спектральные плотности флюктуаций ско рости ветра по нормали и по направлению вектора скорости полета
очень близки. Поэтому в |
дальнейшем для упрощения решения |
задачи будем пользоваться |
спектральной |
плотностью |
|
2 |
, |
|
S v (W) = |
““ |
' 1 + со24 |
/^- |
Преобразуем это выражение, представив его в следующем виде:
Sw (®) - |
Дшр |
1 |
(11.50) |
|
л ' р2 |
О)2 |
|
где |3 = vjLv\ Dw = о4. Корреляционная функция, |
соответствую |
щая спектральной плотности (11.50), имеет вид |
|
Кш(х, т')=£>ие - Р |^ '1 . |
(11.51) |
Используя связь между составляющей скорости ветра и нерегу лярной частью полезного сигнала (11.49), проведем вычисления
корреляционной функции сигнала |
5 х (t): |
|
|
|
|
t |
т |
|
|
S 1 (0 |
= Аа \ \ |
Wy (т) dr; dr, |
|
|
|
|
б |
о |
|
|
|
1 |
т' |
I |
Г1 |
|
|
KSl (Т, г') = |
А'а | |
| |
J |
JКш„ (v, р) dv d\id% dr\. |
(11.52) |
|
о |
о |
о |
о |
|
|
Заменяя в выражении (11.51) т на v и т' на р, подставляя в фор мулу (11.52) и выполняя вычисления, получим следующее выраже ние для корреляционной функции нерегулярной составляющей полезного сигнала:
KSl (т, т') = ^ А'а j-|- min (т3, т' ) +
+ ^ |
(1 - е~Рт (1 + |
рт) - |
е~Рт' (1 + рт') + |
|
+ |
е-Р I |
I (1 + |
р (т — т' | — р2тг')]}, |
|
где функция min (т3, т '3) |
равна т3 при т3 < т '3 и т '3 при т'3 < т3. |
Корреляционная функция всего полезного сигнала |
|
Ks (т, т') |
=£>„ |
+ £) угт' + |
D атV* + KSl (т, т'). |
(11.53) |
Измеритель системы стабилизации высоты определяет полезный сигнал 5 (/) с ошибками, обусловленными случайным смещением нуля jVо и наличием широкополосной помехи N 1 (t). Суммарная помеха
N (0 = N 0 + N,(1).
Случайная величина N 0 имеет математическое ожидание Шл'0 = О и дисперсию DNo, случайная функция времени N 1 (/) иекоррелирована с величиной N 0 и с достаточной точностью может быть аппрок
симирована белым |
шумом |
с нулевым математическим |
ожиданием |
и интенсивностью GN. Корреляционная функция помехи N (/) |
имеет вид |
|
|
|
KN (т, т') = |
£>*„ + Gnб (т - т'). |
(П -54) |
Будем считать, |
что полезный сигнал и помеха некоррелированы |
между собой. В этом случае корреляционная функция входного
сигнала есть сумма корреляционных |
функций |
полезного сиг |
нала (11.53) и помехи (11.54): |
|
|
Кх (т, т') = D 0 + D утт' |
+ D 2т2т'г + |
|
+ Т Л“ { ^ т ‘п(т3’ Т ^ |
— е_|3т(1 |
— |
— е~Рх' (1 + Рт') + е-р|т-т'1(1 + Р |т — г '| — р2тт')]] + |
“Ь А\'0 ~Ь б)д/б (т — т'). |
|
Оптимальный измеритель должен с наибольшей точностью выде лить из наблюдаемого сигнала полезный сигнал. Примем за крите рий оптимальности минимум среднего квадрата ошибки
М [(S (0 — S* (0)21 = min,
где S* (t) — оптимальная оценка полезного сигнала.
Перейдем к решению задачи. Общий алгоритм определения
оптимальной весовой функции системы имеет вид [58 1 |
|
g (t, т) = gW |
(t, т) '+ £ \ g (q) (i, |
т); |
(11.55) |
t |
Q—1 |
|
|
J g m (t, T') Kn (T, t') dx' = Ksl2 (t, |
X), |
(11.56) |
0 |
корреляционная функция |
требуемого |
где KSlz (t, x) — взаимная |
преобразования нерегулярной части полезного сигнала Sit и суммы
нерегулярной части полезного |
сигнала |
и помехи Z (/) = |
S x (t) + |
+ N (t). |
(11.55), |
(11.56) принимают вид |
В данном случае уравнения |
t |
|
О |
dx' = ср, (т); |
(11.57) |
J gUl) {t, х') KN (т , |
о |
|
|
|
|
|
(<7 = |
1, |
2, |
3) |
|
|
|
|
|
|
Л7 |
Dp |
|
^ |
^ p 0 |
^fipq (t) ; |
P = I |
|
|
|
<7=1 |
|
|
7 |
|
|
bp0(t)= |
J&(0) (t>т) фр 00 dr, |
bpq (Q = |
J 8l4) (t> T) фр |
00 dT- |
Средний квадрат ошибки оптимальной |
системы |
|
&оо (0 + |
N |
|
« m l.i = D y T — |
S ЧИ’р(0 — ЙР 0 (01. |
где |
|
|
Р=1 |
|
J |
£ (0) |
|
|
boo (0 = |
а Т) /с„г (*, т) dx. |
В рассматриваемой задаче требуется выделить полезный сигнал, поэтому требуемый выходной сигнал
ут (о = г/о + + и + s ±(t).
С учетом некоррелированности полезного сигнала и помехи корреляционная функция KSlZ (t, т) в уравнении (11.56) равна кор реляционной функции нерегулярной части полезного сигнала, т. е.
Ks,z (t, т) = KSl (I, т).
Число членов в сумме выражения (11.55) N = 3. Функции ср? (/)
и(0 соответственно равны:
(Pi (t) |
= |
1; |
ф2(0 = |
|
Фз (0 |
= |
i2; |
ф1 (0 |
= |
1; |
Ф*(0 = |
*; |
Фз (0 |
= |
I2- |
Вычисление среднего квадратического отклонения ошибки для оптимальной системы, выполненное для следующих условий [71 ]:
Ааош = |
1 м-с-2; (5 |
= 0,1 |
с-1; G,v = |
Ю4 м2-с; |
Do = D\ = 0; D2 = |
= 1,6 ЛО3 |
ма.с-4; |
DNo = |
ЮО м2, по |
|
|
казывает (см. рис. 11.12), что внача |
|
|
ле ошибка возрастает, а затем стре |
|
|
мится |
у установившемуся |
режиму. |
|
|
В установившемся |
режиме |
среднее |
|
|
квадратическое |
отклонение |
ошибки |
|
|
в основном определяется вероятност |
|
|
ными характеристиками |
нерегуляр |
|
|
ной части полезного сигнала |
и поме |
|
|
хи. Как следут |
из графика, |
ошибка |
|
|
достигает установившегося значения |
|
|
примерно через 1 МИН. |
|
участка |
Рис „ , 2 |
Зависимость среднего кв.д- |
МОЖНО |
рассмотреть три |
ратнческого отклонения ошибки ста- |
„ |
|
г |
г |
|
|
|
бнлизацни |
высоты от времени наблю- |
изменения |
среднего квадрата ошиб- |
|
де„„я р |
ки. На первом интервале 0 < t < t x целесообразно строить оптимальную оценку полезного сигнала по априорным данным. Оптимальная оценка формируется как математическое ожидание полезного сигнала. В рассматриваемом случае оно равно нулю. Дисперсия ошибки оптимальной системы на этом интервале опреде ляется формулой, получаемой из выражения (11.53) при т = т' = t,
Dtf Do -j- Dyl |
-f- (D2-|- DwAa ) t . |
(t |
< |
Составляющая DwAa получена из разложения функции /(Sl (t, 1)
в ряд по t на интервале t < |
1/(3. |
можно получить приближен |
На втором интервале Д < |
t < |
ное решение, если аппроксимировать корреляционную функцию
полезного сигнала (11.53) |
выражением |
|
Ks (т, т ) л*Do + |
D irt |
(£>2 + DwAa ) т2т . |
Решение задачи по алгоритму |
(11.55)—(11.59) |
при D 0 = D X — |
= Do = Dw = 0 дает следующее выражение для |
весовой функции |
оптимальной системы: |
|
|
|
g ((> т) = |
1От3 |
|
-т ( |
Г- |
|
Днсперсия ошибки в этом случае
90G,v
Dh (О Т~ Dm, .
На третьем интервале / > Д оптимальная система становится стационарной. Передаточную функцию оптимального фильтра полу чаем в результате решения задачи методами, изложенными в п. 11.10. Формула для передаточной функции имеет вид [71 ]
3,23v2s4 |
5,23v|s3 -j- 5,23v2r + 3,23\ф + v2 |
Ф (S) : |
|
(11.60) |
s5 + 3,23v2s4 + 5,23v2s3 + |
5,23v|s2 -(- 3,23v2s ■+ |
где параметр |
|
|
|
10 |
(11.61) |
V2 = |
| / |
G,v
Дисперсия ошибки в этом случае
DH — Dm0 -f- 0,63G^v
или, учитывая значения параметров [3, Dw, Аа, формулу можно представить в следующем виде:
10 /"~Т~2
Dh = Dmo-(-0,63 у пЬп [^а^ а GaAa] GN .
Мы рассмотрели получение передаточной функции оптимального фильтра, выделяющего полезный сигнал 5 (/). На рис. 11.13 пока-
