Файл: Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления.pdf

ГЛАВА 2

4

в

п : = п - 1

4I

7

і : = О

Рис. 2.1. Блок-схема алгоритма вычисления функции готовности.

53

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

МЕТОДОМ СОСТАВЛЕНИЯ ГРАФА СОСТОЯНИЙ

Для частного случая резервированных восстанавливаемых систем, когда потоки отказов и восстановлении являются простейшими, А. М. Половко и Б. И. Гуровичем [34, стр. 78—83] разработана методика получения количественных характеристик надежности, не требующая составления и решения дифференциальных уравнений

пмассового обслуживания. Эта методика позволяет по известному графу состояний найти коэффициент готовности, а также записать выражения в изобра­ жениях по Лапласу для вероятности безотказной работы и функции готовности.

Рассмотрим существо методики на гипотетиче­ ском примере навигационной радиолокационной станции, состоящей из k блоков. Граф состояний восстанавливаемой РЛС имеет вид, представленный на рис. 2.2. Узлам графа соответствуют различные состояния устройств, а ветвям — возможные пере­ ходы из одного состояния в другое с интенсивно­ стями Кі и у,-. Система отказывает, если она пере­ ходит в состояние k — 1. Тогда для резервированной

восстанавливаемой системы любой кратности т спра­ ведливы следующие выражения для вероятности отказа Q (t) и вероятности застать ее в любой момент времени t в состоянии отказа (простоя) в изображениях по Лапласу

54

ГЛАВА 2

интенсивностями переходов из одного и того же состояния в разные (соответствующие стрелки выходят из узлов).

Коэффициент А 3 равен сумме произведений интенсивностей пере­ ходов, взятых по три, за исключением тех членов, в которых в каче­

сивностей переходов, взятых по і, за исключением тех членов, в кото­ рых в качестве сомножителей встречаются произведения A,m p.£.

Коэффициент АІ в выражении для вероятности отказа находится при известных коэффициентах Л£ следующим образом. Если в выра­ жении для коэффициента A t исключить все члены, содержащие в качестве сомножителя интенсивность перехода рі/г_1, то получен­ ное выражение будет равно коэффициенту А\. Эта закономерность очевидна, так как выражение (2.40) характеризует поведение системы до ее отказа и получено в предположении, что обратного перехода

к—І

В = П X

і=і

Другие характеристики надежности резервированных восстанавли­ ваемых систем — функцию готовности Г (t), коэффициент готов­ ности кт и вероятность безотказной работы Р (t) в течение вре­ мени I — можно получить из (2.40) и (2.41), воспользовавшись соот­ ношениями

P ( p ) - = - j — Q(p).

Наиболее просто из графа состояний определяются коэффициенты простоя и готовности, которые равны

Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 2.2. Рассмотрим систему энергопитания, состоящую из трех параллельно

работающих в смысле надежности генераторов. Отказовое состояние для такой си­ стемы наступит при одновременном отказе всех трех входящих в ее состав устройств. Пусть система обслуживается одной ремонтной бригадой, интенсивность отказов всех входящих в нее устройств равна X, а интенсивность восстановления равна ц.

55

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Граф состоянии такой системы представлен на рис. 2.3. Требуется определить выра­ жение для функции готовности (в изображениях по Лапласу) и коэффициент готов­ ности.

В нашем случае Аі = ЗА, Аз = 2 А, А3 = А, = ц Тогда по изложенной мето­

дике коэффициенты А,- и В будут равны:

+ЗАр2 + р 3]

атребуемое значение функции готовности в изображениях по Лапласу примет вид

Граф состояний резервированной восстанавливаемой системы может иметь более сложный вид, чем изображенный на рис. 2 .2 .

Сложные ветвящиеся графы получаются в случае раздельного резер­ вирования, учета двух характеров отказов, отсутствия контроля моментов отказов отдельных устройств резервированной системы, резервирования неравнонадежных устройств, наличия избыточности других типов (функциональной, временной и т. п.). В этих случаях может быть несколько состояний отказа. Тогда вероятность того, что резервированная система неисправна в любой момент времени t, вычисляется из соотношения

М *) = Е Л ( 0 ,

І = 1

56

ГЛАВА 2

где Р( (I) — вероятность того, что система в момент времени t нахо­ дится в г-м состоянии отказа. Очевидно, что изображение по Лапласу для Р. (t) можно найти из выражения

графа, а / равно минимальному числу неисправных устройств резер­ вированной системы, находящейся в і-м состоянии отказа.

Пример 2.3. Пусть дана система с раздельным резервированием, представленная на рис. 2.4. Все элементы равионадежны и имеют интенсивность отказов X. Работает одна ремонтная бригада, которая осуществляет восстановление с интенсивностью ц. Граф состояний системы приведен на рис. 2.5. Интенсивности переходов из состояния

всостояние определяются из графа следующим образом:

~АХ, X.j — 2Х, X.}/ — X, Х^ — 2Х,

Рі Н“2 Рз' йз — М--

57