Файл: Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления.pdf

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

где о)р (t) — точное решение уравнения (1.29), А и с — постоянные, определяемые неравенствами

ІЖ*. т ) |< с , I®р(I) — а (/) 1 =£Д

для всех моментов времени t > 0 , принадлежащих конечному про­

межутку.

При более сложных ядрах процесс решения значительно услож­ няется, что и ограничивает возможности метода.

Операционный метод, а также метод последовательных приближе­ ний обеспечивают, как отмечалось ранее, вычисление функции готовности, заданной выражениями (1.35) и (1.41), или средней частоты отказов с учетом восстановления лишь для ограниченного класса законов распределения времени безотказной работы и вре­ мени восстановления систем. В большинстве случаев в силу слож­ ности этих законов аналитическое решение выражений (1.29), (1.35), (1.41) в удобном для практики виде получить либо чрезвычайно трудно, либо вообще невозможно и приходится использовать при­ ближенные, чаще всего численные методы. При этом функция готов­ ности вычисляется в конечном множестве точек временного интер­ вала, на котором исследуется надежность системы. Полученная таким образом последовательность значений функции готовности {Г„} является аппроксимацией функции Г (t).

Для определения элементов последовательности )ГЯ) необхо­ димо найти значения средней частоты отказов с учетом восстановле­ ния в точках вычисления функции готовности. Эти значения могут

50

ГЛАВА 2

быть получены либо в результате обработки статистических данных об отказах системы, либо — при известных функциях а (t) и г (/) — в результате численного решения уравнения (1.29). Рассмотрим второй случай.

Для численного решения уравнений (1.29) и (1.35) заменим внеш­ ний и внутренний интегралы конечными суммами, применив обоб­ щенную формулу трапеций. Использование более точных, а следо­ вательно, более сложных квадратурных формул в рассматриваемом случае сопряжено со значительными трудностями и поэтому неце­ лесообразно. Необходимую точность вычисления можно обеспечить за счет надлежащего выбора шага интегрирования.

Итак, разбивая в (1.29) и (1.35) интервал интегрирования внеш­

(2.38)

и

весьма трудно. Наиболее целесообразно применить в данном случае двойной просчет с шагами Іг и 2h. После того как десятичные знаки

вобоих случаях начнут совпадать, полученное значение прини­ мается за точное значение анализируемых функций. Кроме того, следует иметь в виду, что величина шага интегрирования должна выбираться так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения

всмысле сходимости результата с ростом а к асимптотическому зна­ чению вычисляемой функции, которое при известных параметрах потоков отказов и восстановлений системы известно (см. табл. 1.4).

Уравнения (1.29) и (1.35) и формулы их численного решения (2.38), (2.39) являются универсальными в том отношении, что позво­ ляют вычислять среднюю частоту отказов с учетом восстановления и функцию готовности при произвольных законах распределения времени безотказной работы и времени восстановления. В прило­ жении I приводится АЛГОЛ-программа вычисления этих функций.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Несмотря на то что выражения (2.38) и (2.39) по содержанию различны, так как (2.38) является приближенным представлением интегрального уравнения (1.29), а (2.39) — выражения (1.35), содер­ жащего двукратный интеграл, но не являющегося интегральным уравнением, схема вычислительного процесса у них общая и поэтому реализуется одним и тем же участком программы. Следует также иметь в виду, что в зависимости от законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления при аналитическом их задании получение массивов \а; \, \Р{\ и |г£} осуществляется по различным формулам. В тексте приведенного в приложении I алго­ ритма описано релеевское распределение длительности безотказной работы и экспоненциальное распределение времени восстановления.

Блок-схема машинного алгоритма вычисления представлена на рис. 2 . 1 .

Операторы 1 и 2 осуществляют вычисление по соответствующим формулам (см. табл. 1.4) значений вероятности безотказной работы P jt плотности вероятности отказов а,- и плотности времени восстановле­ ния /у в точках разбиения интервала интегрирования и засылку этих значений в рабочие ячейки.

Оператор 3 присваивает переменной у, управляющей схемой расчета, целочисленное значение 1. При у — 1 вычисляется после­ довательность {сор„|, при у = 2 — последовательность |Г„|.

Оператор 4 присваивает целочисленной переменной п начальное значение 0 .

Оператор 5 вычисляет значения сор (0) = сор0, Г (0) = Г0. Оператор 6 присваивает переменной п очередное значение, соот­

ветствующее номеру точки разбиения интервала интегрирования. Операторы 7— 12 вычисляют первую внутреннюю сумму. Операторы 13— 17 вычисляют вторую внутреннюю сумму. Оператор 18 осуществляет проверку на конец вычисления внеш­

ней суммы.

Оператор 19 управляет вычислением внешней суммы. Оператор 20 вычисляет значения шр„ и Г„.

Оператор 21 осуществляет проверку на конец вычисления

®рп и Гге.

Оператор 22 осуществляет проверку на конец вычисления. Оператор 23 пересылает массив \Pj\ на место массива {а;[ для

вычисления Г„.

Методика расчета функции готовности, основанная на представ­ лении ее в интегральной форме, предполагает знание законов рас­ пределения длительностей исправной работы и восстановления системы. Для сложной системы при наличии различных ограничений на возможности ее ремонта, обычно имеющих место в реальных усло­ виях эксплуатации, эти законы получить нелегко. Как уже отмеча­ лось выше, в подобных случаях удобней применять другие методы. Ниже рассмотрим методику расчета функции готовности с исполь­ зованием графа состояний системы.

52