Файл: Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления.pdf

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Требуется определить функцию готовности Г (!) (в изображениях по Лапласу) и коэффициент готовности кг. В нашем случае система имеет два состояния отказа (состояния 2 ' и 3), поэтому

А,, + Ад

*П (р) = р 2’ (Р) + Рг (р ) ~ А

Система может находиться в пяти состояниях, следовательно, А = р [Л 0р 1 I- /Цр3 - f А ір 3 -|- А3р -I- .4.,).

+ іЯРоІН'Рз = 16Х3|і + 12Х2ц3 -f- 4Х|і3 + р4.

В этих коэффициентах, как следует из графа состояний, отсутствуют члены, содер­ жащие произведения вида ХіЦі, ХгЦа, Ха|іі, Х2Х2', Ха|іі, Хг'рз', Х3|і2 , Х3|і3. По усло­

вию примера /е = 5, а число отказавших устройств в состоянии 2' равно двум и в со­

могут быть найдены из коэффициентов Л а, А3, Л4, если в последних оставить толь ко те члены, в которых присутствуют сомнолштели Х4, Ха'. Тогда

ßrf’* = XjXg-PgPs = 4Х2р2.

Для определения коэффициентов В ^ , В(3)на основании указанного правила необ­ ходимо в коэффициентах Л3 и Л4 оставить только те члены, в которых присутствуют сомножители Х4, Х2, Х3. Тогда В ^ = Х[Х2Х3 = 16Х3, ß ( 31 = XjX^XgU, — 16X3p.

Подставив в выражение для кп (р) полиномы и вычисленные значения коэффициен­ тов, получим

4 Х У + (24Х3 + 8 Х2р) р + 16Х3р + 4Х2р2_________

58

Следует заметить, что для получения коэффициента простоя или коэффициента готовности можно не искать /гп (р), а находить kr и k„ по формулам (2.43) непосредственно из графа состояний. Из выра­ жения (2.43) следует, что kr есть отношение вида

П

где п — число узлов графа, соответствующих отказовым состояниям системы; г — k — п — число узлов графа, соответствующих исправ­ ному состоянию системы; T t — произведение интенсивностей пере­ ходов из всех крайних состояний графа в г'-е состояние отказа при движении в это состояние по кратчайшему пути в направлении стре­ лок; Tj — произведение интенсивностей переходов из всех крайних состояний графа в /-е исправное состояние при движении в это со­ стояние по кратчайшему пути в направлении стрелок.

В примере 2.3 число узлов k — 5, число состояний отказа п = 2, число исправных состояний г = 3. Тогда

,Ту + Т 3

іп Г0+ Т 1+ Т 2+ 7’2. + Г3 ’

Руководствуясь указанным правилом, легко найти вероятность пребывания резервированной восстанавливаемой системы в любом і-м состоянии по формуле

/ = 1

где Т t, Tj — произведения интенсивностей переходов из всех край­ них состояний соответственно в і-е и /-е состояние при движении

59

лиз надежности сложных резервированных восстанавливаемых устройств. Он может быть легко реализован на цифровых вычисли­ тельных машинах. Особенно просто удается вычислить предельные значения вероятности пребывания системы в любом состоянии, в частности наиболее важную характеристику надежности — коэф­ фициент готовности.

Недостаток методики состоит в том, что она не освобождает иссле­ дователя от необходимости отыскания оригинала функции по ее изо­ бражению для получения количественных характеристик надеж­ ности резервированных восстанавливаемых систем во временной области. Не доказана также возможность применения методики в тех случаях, когда система может переходить из состояния і не только в соседние, но также и в другие состояния.

Первый из указанных недостатков молено обойти, используя для определения характеристик надежности во временной области ана­ логовые вычислительные машины.

В силу того, что метод получения функций времени на основа­ нии изобралеений по Лапласу является достаточно общим, целесооб­ разно изложить данный метод в отдельном параграфе и показать его применение как для получения функции готовности резервиро­ ванных восстанавливаемых систем, так и для непосредственного решения интегральных уравнений типа Вольтерра 2-го рода.

Определение функции готовности Г (t) связано с трудностями, кото­ рые встречаются при решении интегрального уравнения для полу­ чения средней частоты отказов с учетом ремонта сор (t). Как уже было указано, решение интегрального уравнения молсет быть осу­ ществлено с помощью преобразования Лапласа для сравнительно простых систем. При усложнении систем возникают трудности, связанные с отысканием оригинала функции. Поэтому рассмотрим методику решения на АВМ интегральных уравнений Вольтерра 2 -го рода с разностным ядром и покажем ее использование для устра­

нения недостатка изложенной в предыдущем параграфе методики оценки готовности резервированных восстанавливаемых систем.

Пусть задано интегральное уравнение 2-го рода с разностным ядром

60

выполняющий операцию свертывания двух функций К ( 0 и у (t).

Операции свертывания функций в области вещественной пере­ менной соответствует перемножение на комплексной плоскости изображений этих функций по Лапласу.

преобразования Лапласа к уравнению (2.45) приводит к соотно­ шению

Для получения на АВМ функции у (t) в области вещественной переменной необходимо синтезировать динамическую систему, обла­ дающую заданными характеристиками.

Выражение (2.48) можно представить как уравнение, описываю­ щее некоторую реальную систему. Тогда в зависимости от того, какую составляющую принять в данном уравнении за изображение входного сигнала и за передаточную функцию системы, возможны четыре варианта реализующих схем, которые приведены на рис. 2 .6 .

Во всех четырех случаях функция у (t), являющаяся оригиналом для Y (р), представляет собой искомую переменную и должна быть выходным сигналом модели. Схема, представленная на рис. 2.6, г, нереализуема на АВМ, так как представляет собой систему, охва­ ченную положительной обратной связью.

Для реализации схемы, представленной на рис. 2.6, а, необхо­ димо смоделировать S-функцию, изображение по Лапласу которой

61