Файл: Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления.pdf

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Предельное значение функции (2.4) при і - >оо является коэф­ фициентом готовности системы

Если определению подлежит лишь установившееся значение функции, то зависимость (2.5) можно получить более простым путем, учитывая, что рассматриваемый процесс является эргодическнм. В установившемся режиме при t —>оо справедливы соотношения

Po(t) = Pa; Pi(t)=Pi\ P2(t) = Pü P6 (t)= P t(t) = Pi(t) = 0.

При этом система (2.2) с учетом свойства эргодичности принимаетвид

откуда непосредственно следует (2.5).

Ввиду наличия обширной литературы по рассматриваемому

'Так как интегральное уравнение средней частоты отказов с учетом восстановления (1.29) и выражение функции готовности (1.35) со­ держат интеграл типа свертки, для их решения удобно использовать метод операционного исчисления, обеспечивающий переход от урав­ нений относительно функции действительного переменного к алге­ браическим уравнениям относительно изображения по Лапласу этой функции.

При практическом использовании операционного метода встре­ чаются трудности, связанные с нахождением изображения по Лап­ ласу плотности вероятности отказа a (t) и плотности распределения времени восстановления г (1) при различных законах их распреде­

ления, а также с применением теоремы обращения.

В табл. 2.1 приводится набор часто встречающихся в теории надежности функций и их изображений по Лапласу.

Выражение для средней частоты отказов с учетом восстановле­ ния, представляющее собой решение уравнения (1.29) в операторной форме, было приведено выше [см. (1.44)]. В случае, когда функ-

40

ГЛАВА 2 •

Та б л и ц а 2 . 1

Таблица изображений по Лапласу некоторых функций

ция Ир (t) задана, это выражение можно рассматривать как уравне­ ние в операторной форме относительно частоты отказов:

Запишем в операторном виде соотношение для нахождения функ­ ции готовности. Применив операторную форму записи к равенству (1.35), получим

Г (р) = Р (р) + Пр (р) Р (р) R (Р)

или с учетом соотношения (1.44)

Запишем данное выражение в другой форме.

Изображение вероятности безотказной работы может быть по­ лучено в виде

41

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Подставляя значение Р (р) в (2.7), получаем

Соотношения (2.7) и (2.9) позволяют путем применения обратного преобразования Лапласа найти начальную функцию Г (t).

Если время восстановления постоянно, т. е. средняя частота отказов с учетом восстановления определяется интегральным уравне­ нием (1.27), операторная форма решения этого уравнения имеет вид

A(ß)

(Р) — 1- А ( р - Т а) •

Применив к величине А (р — Та) теорему смещения, будем иметь

Ор(р) = -------(2.10)

1- А (р) е р в

При этих же условиях, применяя к соотношению (1.33) преобразо­ вание Лапласа и учитывая выражения (2.9) и (2.10), получаем опе­ раторное выражение для функции готовности

р( 1— А (р) е ~ рТ») '

Использование метода проиллюстрируем на примере определе­ ния средней частоты отказов с учетом восстановления и функции готовности в случае распределения длительности безотказной работы по закону суперпозиции двух экспонент при экспоненциальном вос­ становлении. Решим сначала интегральное уравнение (1.29).

Плотность вероятности отказов для закона суперпозиции двух экспонент задается формулой

Вероятность безотказной работы при этом равна

Плотность распределения времени восстановления имеет вид

С учетом изображений по Лапласу выражений (2.12) и (2.15) равенство (1.44) перепишется как

42

ГЛАВА 2

После преобразований последнее равенство приобретает вид

Правая часть выражения (2.16) представляет собой дробнорациональную функцию вида

задача обращения для которой решается просто. Если степень мно­ гочлена А (р) не превосходит степени многочлена В (р) и В (р) имеет простые отличные от нуля корни рь, то оригинал выражения (2.17)

равен

I

k = l

где сумма берется по всем корням многочлена В (р). На основании данной формулы из соотношения (2.16) получаем решение для сред­ ней частоты отказов с учетом восстановления:

Из (2.19) можно получить предельное значение функции сор (t) для рассматриваемых законов распределения времени безотказной работы и восстановления:

Но так как

43