Файл: Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ
Важно отметить, что для свойственных теории надежности законов распределения случайных величин К { t — т) — неотрицательная функция, заданная при положительных і, ограниченная и принад лежащая к классу суммируемых функций. В этом случае в соот
ветствии с узловой |
теоремой |
восстановления (1.17) при |
/ —>оо |
|||
/ |
|
|
|
оэ |
|
|
[ сйр (т) К {t — т) dx —> |
J |
К (х) dx |
|
|||
б |
|
|
ср |
в о |
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со і |
|
|
|
lim Г (t) = |
= > |
[ f Р (t — 0) г (Ѳ) dd dt. |
|
|||
<->ш |
|
1 c p - t - ' |
J |
|
|
|
Воспользуемся еще раз |
свойством (1.43): |
|
|
|
||
|
|
|
СО |
|
00 |
|
lim Г (0 = |
lim -jr- W |
[ e~pi P (t) dt |
( e~pi r (t) dt. |
(1.50) |
||
CO |
p-> 0 J c p - T - i B g 1 |
|
0J |
|
||
Первый интеграл соотношения (1.50) при р —>0 равен математиче скому ожиданию среднего времени безотказной работы Т, а второй 1. Поэтому получаем
lim Г (/) = |
= kT. |
(1.51) |
/- » ou |
' c p “ M n |
|
Итак, при любых законах распределения времени безотказной работы и ремонта системы функция готовности стремится к коэф фициенту готовности в установившемся режиме. Формулы для коэф фициента готовности, выраженные через параметры различных за конов распределения времени безотказной работы и времени вос становления, приведены в табл. 1.4.
Аналогично предыдущему можно определить асимптотическое значение функции готовности на конечном промежутке (t, t + s). Применение узловой теоремы восстановления к (1.41) дает
со і
lim Г (t, s) — -=—^-=- f |
f P (M - s — Ѳ) r (0) dBdx. |
|
||
t-*oo |
1 cp -T |
1 B 0 |
gf |
|
На основании |
свойства (1.43) |
имеем |
|
|
|
|
|
СЮ |
|
|
lim Г {t, s) = |
-T- |
f P(t + s)dt. |
(1.52) |
|
<->oo |
|
|
|
Далее путем замены переменной в интеграле (1.52) и элементарных преобразований получаем
СО
lim Г (*, s) — kr |
f P (t) dl = Г (s). |
(1.53) |
• ' c p |
J |
|
30
со
ГГ
ч
\о
со
Н
|
параметры различных законов |
времени восстановления |
|
черезготовностикоэффициентовВыражение работыбезотказнойвременираспределенияи |
|
3 |
|
|
s |
|
|
|
|
л |
|
|
|
4 |
|
gg-S |
м |
||
СЧ |
рЛщ |
Е |
|
о |
- ~ |
Л |
|
|
О ±\Л |
н |
|
ч £ |
<5 о |
О |
л |
|
|
с |
5 |
а ft« Я |
о |
со |
|
* |
я |
||
со С |
£ |
СП* |
|
ГЛАВА 1
+
К
І-~ о |
<< |
|
---------^— - Рч j -1
ч |
рас-Гамма- |
пределения |
ч |
||
>ч |
|
|
\о |
|
|
sS |
|
|
CL* |
|
|
CQ |
|
|
31
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ
Продолжение табл. 1.4
а
(У
s
=; |
•& |
а |
я |
t=C |
p. |
ІО)
b
0
+
lcs
b
1 Г
4“
+
Ics
b
Ѳ
+
ьГ
+
!cs
E-. b
G-
O
X
32
b
H IK
+
ü> b
|<NIК
+
IK
Ics
Itt
+4
кt
l<N
I«
ICS
br-l
ä.
/
ГЛАВА 1
Таким образом, функция готовности на промежутке в устано вившемся режиме равна произведению вероятности того, что система будет исправна в начале этого промежутка, на вероятность безот казной работы ее в течение времени s.
Полезно иметь формулы для Г (s), выраженные через параметры различных законов распределения времени безотказной работы системы.
Э к с п о н е н ц и а л ь н ы й з а к о н. При экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказов вероятность безотказной работы Р (t) и среднее время безотказной работы Тср выражаются через интенсивность отказов к зависимостями Р (/) =
- е ~%т, Т ср = -j-, Следовательно, из (1.53) получаем
СО
|
|
Г (s) = kr ^ - \ е~и dt = |
kre~ks. |
|
|
|
(1.54) |
|||
|
|
1 cp |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для закона |
суперпозиции |
а |
экспонент, |
когда |
P(t) |
|
|
с,е |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
і=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Т c p = S - r - > |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (s) = |
/ег |
|
- l ; S |
|
|
|
|
|
|
|
с р і=і Кі |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а к о н Р е л е я. В случае закона Релея |
F |
и Tqр |
связаны |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
І і |
/тп _ |
|
с |
параметром распределения а зависимостями P(t) = e |
2 |
(т* |
|||||||
|
|
» ^ ср |
||||||||
= |
С учетом этого вычислим отдельно |
интеграл |
|
|
||||||
/ 2
2 С Т 2
і- |
|
і - |
dt— е 2а- |
di = Ѵ |
^ Г а - \ е 2а- dt. |
о |
|
о |
После замены переменной в интеграле правой части данного выра
жения по формуле |
= X получаем |
|
S |
О
1— Ф 0]/2
3 А. Г. Варжапетяи |
33 |
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ
Таким образом,
Г (s) = к |
(1.55) |
Г а м м а - р а с п р е д е л е н и е . При этом распределении для
к- л
целого и положительного k имеем Р (t) = е"к“{ V 1 |
, Т с0 = |
Aß |
і I |
^ |
|
Л |
|
|
При целом и положительном /е гамма-распределению удовлетво ряет время возникновения отказов резервированных систем с вклю чением резерва по способу замещения и при условии, что потоки отказов основной системы и всех резервных систем являются про стейшими. В этом случае параметр k равен числу всех систем, вклю чая основную и резервные.
со
Непосредственным интегрированием находим j Р (t) di:
k—i |
|
ft-i |
|
l-l |
I e~’"' 2 |
( V / |
dt = e -SÄ,o |
2 |
i! |
i ! |
2 |
|||
1 = 0 |
|
/ = 0 |
1 = 0 |
|
С учетом приведенного выше выражения для параметра Тср из равенства (1.53) окончательно получаем
Г (s) |
-s%° U |
J ] |
. |
(1.56) |
|
/=о |
і= 0 |
|
|
Эта формула позволяет найти установившееся значение функции готовности на промежутке s резервированной системы при ненагруженном резервировании. Кроме того, она позволяет решить задачу определения кратности резервирования для обеспечения заданного уровня установившейся готовности на промежутке s.
Пример 1.1. Требуется определить необходимое количество резервных систем
при ненагруженном резервировании для обеспечения установившегося значения функции готовности на промежутке s = 5 ч, равного 0,96, если значение интенсив ности отказов основной и резервных систем Х0 = 0,01 <і _1, а интенсивность восстано вления р = 0 ,2 ч -1.
Р е ш е н и е . |
Основное соединение системы не обеспечивает заданного значе |
||
ния критерия. |
|
|
|
Определяем |
величину критерия |
при |
k — 2: |
|
|
|
к |
Г (s) = |
кте ~ ^ ( 1 + |
= -j- b s .----- ( 1 - Ь ^ 2) = 0,9513. |
|
|
|
1 |
---- |
|
|
Aß |
|
34
/