Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл (11,42Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

T 0 4 K 4 1 T 0 - M H 0 > K E C T B R K ] - I T . 1 R

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ . I

Д о к а з а т е л ь с т в о . Непосредственно из опре деления следует, что а' — вогнутое, положительно одно родное, замкнутое отображение. Конус К2 телесен, и потому, используя теорему 4 . 1, имеем

а'(К\) П

ii\lK\=

|") Lul К1фф.

Проверим, наконец, что а' — гейловское отображение.

В самом

деле,

если

g ЕЕ а'

(0),

то

для

всех

у ЕЕ а

(Кх)

выполняется g (у) =

0. В

частности,

если

у' ЕЕ а (Кх)

("jinfc

Ко, то g (у') =

0, а это

означает, что g =

0. Стало

быть,

а'

(0) =

{0}.

Мы

показали,

таким

образом,

что

а' ЕЕ

(К'х,

К2).

Для

доказательства

второй части предложения

надо

проверить, что

при

любом

/ ЕЕ К[

а' (/)

(«' (/) -

K^f]Kl

Пусть

g ЕЕ (а'

(/) —

К'2)

Р1 К*2.

Тогда

найдется

функци

онал

ЕЕ а'

(/)

такой,

что

g",

где

g" ЕЕ К"2.

Для

ЕЕ Кг

и у ЕЕ а (х)

имеем

/ (z)

(у)

(у) -Ь е"

(у)

g (у),

откуда

следует,

что

g ЕЕ а'

(/).. Таким

образом,

а'

(/) ZD

ZD (a? if)

— К2)

f] К2.

Обратное

включение

очевидно.

Предложение

доказано.

Рассмотрим вопрос о произведении суперлинейных

отображений

их

двойственных.

Т е о р е м а

4.2. Пусть даны отображения ахЕЕА (КХ,

К2),

а2 ЕЕ А

(К'2, К3)

(здесь

K2ZD К2иint

K2f]a

(Кх)

ф).

Тогда

а2°

ахЕЕ А (Кх,

К3).

Если,

кроме того, К2

К2,

то

(а2 ° ах)' = а2

о ах.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

предложений

3.2

4.13 следует, что отображение а2 0 ах замкнуто. Привле кая предложение 4.12, получим, что это отображение вогнуто, положительно однородно и является гейловским.

Наконец, из условия		(int К'2)	f]	а (Кх)	Ф	Ф	и предло
жения	4.7 вытекает,	что (int К3)		(~\| (а«	°	ах)	(Кх) ф ф.
Таким	образом, отображение		а2	° ах суперлинейно.

§ /.] С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я 8Г>

Докажем вторую часть теоремы. Отметим прежде

всего, что	из равенства К2		= К2 вытекает соотношение
(Ко) * =	и потому имеет смысл говорить о произве
дении а2 ° ау. Пусть		h ЕЕ К3.	Рассмотрим		функциоиал qh:
	qh(x)=	max	/i(z)	(x EE	Кг).
		геагоа, (л.)

В силу предложения 4.15 функционал qh суперлинеен. Имеем, используя теорему двойственности и теорему о мииимаксе,

qh (х)

max

h (z) =

max

max h (z) =

z e aj (a, (x))

& i

(x) z e o j (u)

g(y).

—

max

inf

g(l/)=

inf

max

wea,(x)

гесу- ЧЛ)

ge(o'2)-'!(/i)

weoi (.v)

Так

как

К,

K2,

то

множество

(a 2 ) _ 1

(л )

включено

в А'.. Поэтому, снова применяя теорему

двойственности,

получим

для g ЕЕ (а& 1

(ft)

max

g(y)

inf

f(x).

1/SO,

(i)

/e(aj)-'(£)

Итак,

qh (x)

inf

/ (x)

inf

/ (a;)

inf

/(ж).

(4.5)

/ S ( a ^ ) - ' (hi

Покажем,

что

множество

(a2 ° ax)'1

(ft) является ^-опор

ным.

Отметим

прежде

всего,

что

это множество

вы

пукло.

Нетрудно

проверить,

что

оно

^-устойчиво.

В самом

деле,

О ЕЕ а2 ° аг

(/)

при

любом

/ ЕЕ Кг,

и по

тому,

как

следует

из

предложения

4.11, отображение

rt'2 ° «i

возрастает.

(Считаем

здесь,

что

пространство Хг

упорядочено конусом К{.)

Используя предложение 4.8, и

получим требуемую А^-устойчивость множества (а2 °

а^'1^)

Покажем

теперь,

что

это

множество

замкнуто. Пусть

fa е

(а2

ai')""1 (ft),

/„ - * - / .

Найдутся

функционалы

gn.

такие,

что

/„ ЕЕ (aj'1

(gn),

ЕЕ ((h)"1

(ft).


8G	Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я			[ Г Л . I
Так как		отображение % суперлинейно (и, стало		быть,
ограничено) и, кроме того, gn			ЕЕ ях (/„), то последователь
ность	(g„)	ограничена. Не	умаляя общности, считаем,

что эта последовательность сходится, скажем, к функ

ционалу	g. Из	соотношений	/ ЕЕ	(а^'1	(g) и g ЕЕ {a'*fl [h)
следует,	что	f ЕЕ (а2 ° а^"1	(h).	Тем	самым требуемая

замкнутость доказана. Отметим, наконец, что, как следует из (4.5),

inf	/ (х) ^> — ос.
/е(а%а^)-» (h)
Тем самым проверено, что множество		(а2	° # i ) - 1 удов
летворяет всем условиям,	фигурирующим	в	определении

^-опорного множества; стало быть, оно гГ1-онорно.

Используя теорему 2.2 и привлекая формулу (4.5),

имеем

(я2 ° а^1

(h)

Uqh.

С другой

стороны,

используя фор

мулу

(4.4)

(при

а =

(а2

° % ) '

и g =

h),

имеем

U„h

= ((а2

fli)')-1

(Л).

Итак,

при

всех h

ЕЕ

(а.;

о а

; Г

( h ) =

((а, о а,)')-1

(А),

т. е. ( а 2

о C j ) - 1

((Й2

о ai)')'1. Перейдя

в обеих частях

на

писанного равенства к обратным отображениям, получим

аг о a-i = ( а 2	° а г ) ' .
Теорема	доказана.

В заключение этого пункта выразим норму суперли нейного отображения в терминах двойственного отобра жения.

	П р е д л о ж е н и е		4.17. Пусть		в пространстве		Хх
введена норма, монотонная *)				относительно		конуса	Ки
в	пространстве	Хг — норма,		монотонная		относитель
но	К 2.
	Пусть, далее,	а ЕЕ	А (Кг,	Ко). Тогда
	\|а\|\|=		max	m i n	\|\|/\|\|.

*) Определение монотонной нормы см. в п. 12 § 2.

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

монотонности

иормы

в пространствах Хх

и Х2

соответственно следуют формулы

|//||=

max

g(y),

I/||=

max

(х).

M f t j e i i

МО, хек,

(Первая из этих формул

легко

вытекает

из

предложения

2.11; вторая — из

замечания

этому

предложению.)

Условимся

в дальнейшем вместо

max

писать max,

вместо

max

писать

max. Тогда, привлекая теорему

II х

||<1, хеЛ",

двойственности и теорему о минимаксе,

получим

| a | = m a x

max ||г/||=тах max max g (у) —

х vsa (х)

y e a (х)

— max max max g (y) =

max max

inf

/ (x) —

i/eo (x)

/S(n')-1

(g)

= max

int

max /(x) =

max

inf

||/|.

/e(a')-'(g)

/e(a') - 4g)

Для завершения доказательства осталось заметить, что множество (а')~г (g) имеет элемент с наименьшей нормой, и потому inf в последнем члене написанного равенства

можно заменить	на m i n .
Предложение	доказано.
6. Второе двойственное отображение и нормальная
оболочка. Рассмотрим суперлинейное		отображение а.
Как было показано выше, отображение		а', двойственное

к а, также суперлинейно, и потому имеет смысл говорить об отображении (а')', двойственном к а'. Это отображение будем называть вторым двойственным к а и обозначать

через

а".

Если

а ^

(Кх, К2),

то

а'

ЕЕ А (Кх,

Kl),

потому

а"

ЕЕ А (Кх,

Кг).

теорема

описывает

второе

двойственное

суперлинейному

отображению,

Т е о р е м а

4.3. Если

а ЕЕ

(Кх,

Ко),

то

а"

па.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х ЕЕ Кх;

покажем,

что а"

(х)

= па (х). Заметим, что, в силу

теоремы двойст

венности,

множество

(а')~х

(g)

не

пусто

для

любого g

ЕЕ

ЕЕ К\,

поэтому мы можем определить на конусе К2

функ

ционал

рх,

положив

для

g ЕЕ

Ко

px(g)=

finf

f(x).

/е(а')-' (g)

88 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ Г Л . I

Снова	применяя теорему двойственности, получим, что
			Pxig)	= m	a x	£(!/)>			(4-6)
и потому функционал рх				yea	(х)
и потому функционал рх				сублинеен и монотонен.
Рассмотрим теперь множество						Upx =	UVx	f] К2	и про
верим, что Upx		=	а" (х).
Действительно,			если	у ЕЕ а" (х),			то	для	любых
gElKl	и		f^(a')^(g)
			f(*)>g			(У),
откуда	следует,	что
	Px{g)=			inf		1(x)>g(y).
			/е(а')-1		(8)
Последнее соотношение означает, что							у ЕЕ Upx		и, сле

довательно, а" (х) а Цр~х.

Таким же образом можно убедиться в справедливости обратного включения.

Так как множество а (х) содержится в К2 и выпукло, то, используя (4.6) и привлекая предложение 2.9, полу

чим, что Upx — па	(х).
Теорема доказана.
С л е д с т в и е	1. Суперлинейное отображение сов

падает со своим вторым двойственным тогда и только

тогда,	когда		оно	нормально.
С л е д с т в и е				2.	Нормальная			оболочка суперлиней
ного отображения				суперлинейна.
Выясним еще некоторые свойства нормальной оболочки.
П р е д л о ж е н и е					4.18.		Пусть		ах ЕЕ А (Кг,		К2),
a-i ЕЕ А (К2,			К3).	Тогда	п (ах	° а2)		= пах о паг.
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Используя			теоремы 4.2		и
4.3, имеем
п (ахоа2)	= (ах°а2)"—			((ах°а2)')'=		(а'х ° а'2)' =			а"г ° а'2'	~пахопа2.
Предложение доказано.
П р е д л о ж е н и е					4.19.		Пусть		ах ЕЕ А	(Кх,	К2).
Тогда	(па)'	= а'.
Д о к а з а т е л ь с т в о .						По	определению,
(па)' (/)	=	{g	ЕЕ К2* \| / (х) >			max g (у)			для всех х ЕЕ Кх).

Смотрите также файлы

Модуль Введение. Развитие бизнесмышления и навыков успешного предпринимателя.doc

Занятие 9 Настройка сетевого адаптера, смена mac адреса. Цель занятия.doc

План введение Основные особенности древнегреческой цивилизации Греческий род Фратрия, племя и нация греков Религия Культура Заключение Список литературы Введение.rtf

Реферат по теме Материалы и их свойства по дисциплине.rtf

1. Метод хорд. Пусть уже известно, что вещественный корень х с уравнения (1) находится внутри отрезка.docx

Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно