Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

89

и

следует, что

(па)'

=

а'.

С л е д с т в и е

1.

Если

а — суперлинейное

отображе­

ние, то (а")'

=

а'.

Если

норма в Хх монотонна

отно­

С л е д с т в и е

2.

сительно Кх,

а

в Хг

монотонна относительно

Кг,

то

II

а || = || па ||.

Доказательство

вытекает

из предложений 4.17 и 4.19.

7. Суперлинейные отображения и

выпукло-вогнутые

поло­

жительно

однородные

функционалы.

Рассмотрим отображение

а G А (Ки

К2) и на конусе

Ку X К*%

(в пространстве Ху

X Х*г)

определим

функционал

яр,

положив

гр (х,

g)

=

max g

(у)

((*,

g) е Ki

X К\).

(4.7)

1/еа (ж)

Выясним некоторые свойства функционала о|з.

1) При

фиксированном g £=

Кг

функционал

qg:

Qg (*)

=

Ч>

(*,

g)

(*

S # i ) ,

(4.8)

суперлинеен.

2)

При

фиксированном

i

S

.Ki

функционал

р^:

Рх (g)

=

г|)

(г, g),

(4.9)

сублинеен и монотонен.

3)

Найдется

такая точка

х0

е

Ку,

что

* ( * о . г ) > о

( g e ^ \ { 0 » .

(4.Ю)

Отметим еще, что функционалы, построенные с помощью фор­

мулы (4.7) по отображениям а и па,

совпадают.

Покажем теперь, что для каждого функционала г|), опреде­

ленного на

конусе

Ку

X

и

Удовлетворяющего

условиям

1) —

3),

существует

и

единственно

нормальное

отображение

а (Е А

(Ку,

Къ),

обладающее

тем свойством,

что

построенный по

нему с помощью формулы (4.7)

функционал

совпадает с о|>. Таким

отображением является

следующее:

a (яг) =

Upx

(х

е

Ki)

(4.11)

(где р ж — функционал,

определенный формулой

(4.9)).

Проверим, что

a —

нормальное суперлинейное

отображение.

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

91

мы могли бы указать ненулевой

функционал g, ёЕ К*%

такой, что

е (у)

=

о (у

е

а (*)),

g (у) >

о (у е int / д ,

что противоречит

(4.12).

Итак, а (х

)

(~| (int А"

)

ф и,

тем более, а (ЛГ ) Q (in

f c

.ЙГ) =/= ф.

0

2

Х

2

Мы

показали,

что

а — нормальное

суперлинейное

отображе­

ние. Из

формулы

•Ф (ж.

=

Рх (8)

=

max

g (у)

((я, g) е tfi X Я*)

бражение

а,

восстанавливается

по этому отображению

с помощью

формулы

(4.7).

Таким

образом,

справедливо

П р е д л о ж е н и е

4.20. Отображение

а —>

определяемое

формулой

(4.7),

осуществляет

взаимно

однозначное

соответствие

между

множеством

всех

нормальных

отображений

из

А

(Кг,

К2)

и множеством

всех функционалов,

определенных

на

Кг

X К2

и удов­

летворяющих

условиям

(4.8) —

(4.10).

З а м е ч а н и е .

Наряду

с

отображением

а,

построенным

по

формуле (4.11), функционал т|) порождает и отображение а'.

В самом

деле,

для

g

6Е К2

множество

( а ' ) - 1 (?)

совпадает

с

множеством

Uq

всех

опорных

к

функционалу

qg,

определенному

формулой

(4.8).

8. Примеры.

Приведем

несколько

примеров

двойственных

отображений.

П р и м е р

1. Пусть

Х1

=

Л " ,

Х2

= Rm,

Кх

=

К2

=

ах

(ж) =

{Ах},

а2

(х) =

{у е

Л " 1

I 0 <

у <

Л * } ,

где

Л

: Л п

—> Л т

— положительный

линейный

оператор. Для

/ & ( Л " ) *

имеем

а[

(/) =

(

J

6 ( Л " ' ) *

| / (х)

> *

(Лаг)

для

всех

г- <= Д'^}

=

=

U 6

( # + ) *

I / (*)

>

^ * g

(*)

Для всех х

е Л £ } .

Так

как <г2 =

/1%,

то

о,

=

я г

ах

=

аг

=

аг .

На

конусе Л "

X

( Л 1 " ) *

рассмотрим

функционал

т|)(.т, g) =

max

g (!/) =

max g(y).

]/€<>i(x)

iyen.(.t)

В нашем случае этот функционал

совпадает

с билинейной

формой

g (Ах),

которая служит для определения сопряженного оператора.

Заметим

еще, что для g €Е (Л^1 )*

к

г 1 (8)

=

{/ е

( л : )* I / > , i * g ) =

. 4

*

g + л