Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я !

75

предложения 4 . 1

, ~

а (|) с: а

|j

(А,>1), и потому

при X ;> 1

Из сказанного

следует, что

для

любого

натурального

п найдется элемент

хп и з J , для которого

» Е Е а ' ( 1 . п ) .

Поскольку множество | ограничено, то

— хп ->- 0, и

Пусть

теперь

т) — произвольное

ограниченное

под­

множество конуса Кх.

Тогда множество

\ = со rj является

выпуклым

компактом. Поскольку

a (г|) С

в (?),

то

а (н)

ограничено. Предложение

доказано.

С л е д с т в и е .

Если

а — вогнутое

замкнутое

гей­

ловское

отображение,

х ЕЕ Кг,

то множество

а (х)

яв­

ляется

выпуклым

компактом.

П р е д л о ж е н и е

4.7.

Пусть

а:

Кх

П (К2)

—

вогнутое отображение,

причем а (К-у) f]

r i К%

=f= ф.

Тогда,

если х0

ЕЕ

r i Кх,

то

а (х0)

[}

r i К2

=j= Ф-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

условию, найдется точка

х'

из Кг

такая, что а (х') [)

r i К2

ф

Ф- Так как х0

ЕЕ

r i

Кх,

то

при достаточно

малых

положительных

а

элемент

У ~

' " " i

в х одит

в

Ki-

Имеем

а (х0)

=

а (ах'

+

(1 — а) у) З а а

(х')

+

(1 — а) а

(у).

Предложение

доказано.

2. Монотонные

отображения.

Отображение

а:

Кх

—>

-у

П (К2)

назовем

возрастающим

(соответственно,

убы-

76

Т О Ч Е Ч Р Ю - М И О Ж Е Г / Г П Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[гл. I

вающим), если

из неравенства

*)

х' >- х" (х ,

х" Е Е

К Х )

следует,

что

а (х') 3 а (х")

(соответственно,

а (х')

CZ

Справедливы

следующие

простые

предложения.

П р е д л о ж е н и е

4.8. Для

того

чтобы

отобра­

жение

а возрастало,

необходимо

и

достаточно,

что­

бы для

любого

у Е Е а (Кх)

множество

а"1

(у)

было

Кх-ус-

тойчиво.

Доказательство

очевидно.

П р е д л о ж е н и е

4.9. Для

того

чтобы

отображе­

ние а убывало,

необходимо

и достаточно,

чтобы для лю­

бого у Е Е а (Кх)

множество а~х

(у)

с каждой

своей точкой

х содержало конусный отрезок

<0, ху =

{х'

Е Е Кх

\ х' <s: х}.

Доказательство

очевидпо.

П р е д л о ж е н и е

4.10. Пусть

а:

Кх

П (К2)

—

вогнутое

отображение,

обладающее

теми

свойствами,

что для любого

х Е Е

К,

1)

0 Е Е a (х),

2)

множество

а (х)

замкнуто.

Тогда

отображение

а

возрастает.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть х',

х"

Е Е Кх,

х'

^>

х".

Тогда

для любого

а Е Е Ю,

1)

выполняется

неравенство

принадлежит

получим

а (х')

=

а (ах"

+

(1 — а) у а )

3

аа (х")

+

(1 — а) а

( у а ) 3

З а а (х")

(0 <

а

<

1).

Пусть у

Е Е а (х").

Тогда, как следует из приведенных выше

соотношений,

ay

Е Е

a (х')

(а

Е Е

[0,

1)).

Так как

множество

а (х')

замкнуто, то

l i m

ay =

у Е Е

я (я').

а->1—о

*)

Мы считаем, что пространство

Хх

упорядочено

конусом

Кх.

таким

образом,

неравенство

х'

^>

х"

означает,

что

х'

=

х" +

у,

где у G

Кх.

С У П Е Р Л И Н Е Й Т Ш Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

77

Таким образом,

а (х")

CZ а (х'),

что

и

доказывает пред­

ложение.

4.11. Если

а — супераддитивное

П р е д л о ж е н и е

отображение конуса Кх

в П (Кг),

обладающее тем свойст­

вом, что О GE а (х) (х ЕЕ Кх),

то оно

возрастает.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если х'

^

х" (хг,

х" ЕЕ

Кх),

то

а (х') = а (х" +

(х' — х")) ZD а {х") +

а (х' — х")

ZD а

(х").

Предложение

доказано.

З а м е ч а н и е . Пусть отображение а

: К х

П (К2)

возрастает

П р е д л о ж е н и е

4.12. Пусть

ах — отображение

конуса Кх

в П (К2),

az

— отображение конуса К2

в П (К3)

(здесь

К2

CZ Кг).

Если

отображения

ах и

аг

обладают

одним из следующих свойств: вогнутостью,

положитель­

ной

однородностью,

супераддитивностыо,

являются

гейловскими, то и отображение

а2 ° ах

обладает тем же

свойством; если отображение ах

возрастает

(соответст­

что отображение

а» ° ах

вогнуто.

Пусть

х',

х" ЕЕ Кх,

а ЕЕ [0,

1]. Тогда

а2°ах (ах'

-]- (1 — а) х") =

U

а2

(у)

W£a.i(ax'-\-&—a)xf')

=>

U

(аа2(у') +

(1~а)а2(у"))

=

= а

U

в« ( Л + (*-<*)

U

аг(зГ)

=

= аа2 °ах (х')

+ (1 — а) а2оах (х").

Предложение

доказано.

4. Суперлинейные отображения. В

этом пункте опре­

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

79

3

а м е ч а и и е.

Пусть

Z

—

замкнутый

конус,

лежащий

в

в

Х±

X

ЛГ2, и (0,

у)

ф

Z

при

у

ф

0. Тогда

конус Prj Z

замкнут.

В

самом деле,

пусть

хп

Е

PrxZ

(п

=

1, 2,

. . .),

хп

-*

х.

Найдут­

ся

элементы

уп

е

Къ

такие,

что

(хп,

уп)

6Е Z.

Последователь­

ность

(уп)

ограничена

(в

противном

случае

последовательность

^ l y - j j - ^ . i / , , ) ^

имеет

предельные

точки вида

(0,

у),

у

ф

0,

что

невозможно).

Не

умаляя

общности,

считаем,

что

(уп)

сходится

к некоторому элементу и.. Так как конус Z

замкнут, то (х, и)

е

Z

и,

стало

быть,

х 6Е P r x

Z.

П р е д л о ж е н и е

4.15.

Пусть

а ЕЕ

А

(Кг,

К2).

Тогда

для

любого

g El К2

функционал

qg,

определенный

на конусе Кг

формулой

qg

(х) =

max g (у)

{х ЕЕ Кг),

суперлинеен.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Полунепрерывность

сверху

функционала qg

следует из предложений 3.3 и 4.13. Если

хх,

х2

ЕЕ Кх,

то,

учитывая

положительность

g,

имеем

qg{xi

+

x2)

=

=

max

g(y)>

max

(g (уг)

+ g (y2))

=

=

max

g ( T / i ) +

max

g {y2)

=

qg

(xx)

+

qg

(x2).

Мы показали,

что

qg

— супераддитивный

функционал.

Подобным же образом легко проверить, что

qg

положи­

тельно

однороден.

Предложение

доказано.

Пусть а ЕЕ А (Кх,

К2).

Отображение па

назовем

нор­

мальной

оболочкой

отображения

а,

если

для

любого

х ЕЕ Кх

множество

(7га) (х)

совпадает

с

нормальной

обо­

лочкой (в смысле конуса К2)

множества а (х).

Иными сло­

вами,

(па)

(х)

=

п

(а

(х))

(х

ЕЕ

Кх).

Отображение

а

назовем

нормальным,

если

а =

па

(т.

е.

для

любого

х ЕЕ Кх

множество

а (х)

нормально

в смысле

К2).

Некоторые

свойства

нормальной оболочки

будут опи­