Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

81

орт пространства Л ' )

(i =

1,

2, . . .,

I).

Кроме

того,

(0,

у) ф Z

при у ф

0 и P r 2

Z

П

nit (У?")

0 . Из

предложения 4.13 следует,

что отображение а,

графиком которого

является

Z,

суперлинейно.

(Точнее говоря,

а £5 Л

{Ку,

К2),

где

ку

=

Pi-jZ = {х <= я£1 х = Л А , А е д ^ ,

а в качестве К2

можно взять любой воспропзводяпщй выступающий

конус,

содержащий

P r 2 Z — {х

е Л™ I а; = Я А ,

А > - 0 }

и

такой,

что Рг2 2 П int К2

ф

ф.

Например, в

качестве

К2

можно

взять

конус

Д ^ . )

Запишем

отображение

а

в

явном

виде

а (х)

= {у

е

Д ? |

у =

Bh,

h<=A-l(x),

А > 0 }

( x e ^ i ) .

Найдем теперь нормальную

оболочку па

отображения

о. Заметим,

К2.

В

самом

деле,

для

х

ЕЕ

Кг

па

(х)

=

п

(о

(х))

=

(а ( х)

— К2)

(~| Кг.

В

частности,

если

К2

— Л " , то

па

(х) =

{у

<Е

Л »

| 0 <

у

<

Д А ,

А

£Е Л - 1

(ат),

А > 0}

( J £

Кг).

В

случае,

когда

.Кг =

Я ™ ,

отображение

о,

рассмотренное в этом

примере, называется неймановским

(см. § 5). Нетрудно

проверить,

которого Z

является многогранным

конусом,

лежит

в Л "

х Л "

и удовлетворяет

условию: Рг2 Z П

int Я "

0 . Иногда

график

неймановского отображения а записывается (формально)

иным

способом, нежели приведенный выше. А именно, под А

и В

пони­

маются матрицы соответствующих операторов (в

естественном

базисе), а

не сами

эти операторы, точнее говоря,

(/-я

строка

матрицы А

(В)

состоит

из

координат вектора А;

(Ги)

U =

1, 2,

. . .,

I)).

Отождествляя

пространства Л п

X Л п и Л 2 7 1 ,

график

отображе­

ния

а рассматривают

как конус в Л 2 П ,

натянутый на образующие

( a x i ,

. . ., anj,

bljt

.

. .,

bnj)

(/ = 1 , 2 ,

. . ., I).

При

этом

под

А понимается

^-мерная вектор-строка, и вместо выражения, скажем,

А А (оператор А,

примененный к вектору А) пишут НА (строка А ,

умноженная

на

матрицу /1).

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

83

g ЕЕ К2 функционал

qg:

qg{x)

= max g(y),

(4.3)

i i e o (к)

суперлииеен. Кроме того, как вытекает из формулы

(4.2),

[arl{g)

= UVg

(gEElQ

(4.4)

(a')_ 1

(g)

=

{/ е

К{

|/ (х)

>

(х)

для

всех

а; ЕЕ

Кг).

Остается

заметить,

что

UQg

(ZZ К"ъ ибо

для

/ ЕЕ Uqg

вы­

полняются

соотношения

/ (х)

>

qg

(х)

=

max g(y)>0

(х ЕЕ

Кг).

Используя сделанные замечания, покажем, что спра­

ведлива

следующая

Т е о р е м

а 4.1

( т е о р е м а

д в о й с т в е н н о ­

с т и ) .

Пусть

а ЕЕ А

(К1У

К2).

Тогда

а' (К^)

=

К2,

и

для любого

g ЕЕ К2 и любого

х ЕЕ Кх

max

g (у)

=

inf

f(x).

i/eo (.-с)

/е(а')-че)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть g ЕЕ К*2 и qg

— функ­

рему Фенхеля и формулу

(4.4), получим (a')'1 (g)

=

UQa=f=

=f= ф,

откуда следует,

что

g ЕЕ а'

(К[).

Таким

образом,

a' (K'i)

= К*2. Снова применяя теорему

Фенхеля, имеем

max g (у)

= qg(х)

=

inf / (х)

=

inf

/

(х),

V& (х)

feEUQg

te(a')-'

(g)

откуда и следует справедливость теоремы.

Проверим теперь,

что

отображение

а'

суперлинейно

и нормально.

П р е д л о ж е н и е

4.16. Если

а ЕЕ А

(Кг,

К2),

то

а' ЕЕ А

(К\, К2)

и, кроме

того, а'

нормально

(в смысле