Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 141

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5]

П О С Т Р О Е Н И Е М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

99

бражения являются неймановскими, употребляется также термин «модель типа Неймана».) Эта модель и более об­ щая модель, когда временная переменная t может прини­ мать значения из произвольного числового множества, рас­ сматриваются далее в §§ 8—10.

2. Теорема о канонической форме. Рассмотрим модель Неймана — Гейла Ъ. Как уже отмечалось выше, векторы (х, у) ЕЕ Z интерпретируются как «производственные» процессы, где х есть вектор затрат, у — вектор выпуска, причем затраты относятся к одному временному интерва­ лу, а выпуск к следующему интервалу. Из экономических соображений ясно, что в принципе «производственные» процессы могут быть более общего вида, когда затраты и выпуск производятся, например, в одном и том же времен­ ном интервале или процесс может захватывать не два смеж­ ных, а большее число временных интервалов. Дадим более точное и подробное описание этой ситуации и докажем теорему, утверждающую, что «производственные» про­ цессы произвольного вида могут быть сведены к виду, который принят в модели Неймана — Гейла (или модели типа Неймана — Гейла).

Введем понятие ингредиента. Ингредиентом называет­ ся «продукт» с указанием района и момента времени. Та­ ким образом, если модель экономики рассматривается на конечном временном интервале 0, 1, . . ., Т, то число ин­ гредиентов модели также конечно. Обозначим это число через п. «Производственная» (в широком смысле) деятель­ ность состоит в преобразовании или переработке одних ингредиентов в другие.

В моделях экономики, основанных на задаче линейного программирования, «производственные» возможности за­ даются с помощью конечного набора производственных или технологических способов. Производственный способ представляет собой тг-мерный вектор; таким образом, все имеющиеся способы образуют матрицу А = || а\ \\ порядка п X S, где S — число способов. Экономическая интер­ претация вектора as = (а\, . . ., а") такова: если al^> 0,

то это означает, что ингредиент с номером i выпускается при единичной интенсивности применения данного спосо­ ба s в количестве а\. Если а\ < 0, то ингредиент i затрачи­ вается в количестве \а\\.

4*

100 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е И Л А [ Г Л . I I

Наша цель сейчас состоит в том, чтобы сравнить «бо­ гатства производственных возможностей», которые за­ даются с помощью модели типа Неймана и с помощью конечного набора «производственных» способов общего вида, как это принято в задачах линейного программиро­ вания. Для этого прежде всего опишем, как преобразова­ ния ингредиентов осуществляются с помощью всего на­

бора способов

а^.

 

 

 

 

 

 

 

По определению множество номеров ингредиентов /

распадается на непересекающиеся

подмножества/0 )

^v-

. . .,1т

такие, что в

множество

/; входят

ингредиенты,

относящиеся к периоду времени t, и только они. Число

элементов множества /( обозначим через nt.

Соответственно

матрица А

= \\ а\ || разбивается на подматрицы А0,

Ат.

Определим

точечно-множественные отображения

bt (t

=

= 1, . . ., Г ) , сопоставляющие каждому

 

вектору

х !> 0

размерности щ множества bt (х), по следующему правилу:

bt (х) =

{у | у = hAt,

h ЕЕ Щ,

hA0

>

—х,

hAx

>

0,

 

 

 

т

= 1, ...,Т}

 

(*

=

1,

 

Т).

Экономический смысл

множества

bt (х)

таков. Вектор

У ЕЕ bt (х) представляет собой набор «продуктов», который можно получить в период t с помощью набора «продуктов» х, имеющихся в начальный момент времени.

Рассмотрим модель типа Неймана, заданную семей­ ством «многогранных» суперлинейных точечно-множест­ венных отображений (at)[zl. В этой модели множества возможных наборов «продуктов», которые можно получить из фиксированного набора х, определяются следующим

образом: а0

(х)

= а0 (х) есть множество наборов, получаю­

щихся

из

х

в момент

t = 1,

ау (х) — ах ° а0 (х)

— мно­

жество

для

t

=

2, и т. д.,

 

 

 

 

 

 

а, (х) = (а, о

° . . . о а0)

(х).

 

Итак,

надо сравнивать отображения (bt), определенные

матрицей || а\ ||, и отображения (а(),

определенные неко­

торой

моделью

типа

Неймана.

 

 

Исходя

из

экономических

соображений, на

матрицу

производственных способов || а] [| накладываются ограни­ чения:

1) Для любого х > 0 множества bt (х) ограничены.

§ 5] П О С Т Р О Е Н И Е М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А • ДО1

2)

Не существует

способов

as

таких, что а\ ^> 0 и

о1/ <

0 для i ЕЕ /,,

i' ЕЕ / с

где

i ' > i .

Первое ограничение означает, что невозможно произ­ водить сколь угодно много с помощью конечных затрат.

Это

требование равносильно

совокупности

двух

других,

а именно: если as ф О, то

найдется номер

i

такой,

что

а] <

0;

невозможно наличие

двух

способов

вида

 

(0,

. . .,

- 1 , + 1 , . . ., 0),

(0

1

+ е, -

1

,

. . .,

0)

 

 

 

 

 

 

 

 

(е >

0).

Второе ограничение говорит о том, что невозможно вы­ пускать продукцию в некоторый момент времени с по­ мощью затрат, которые будут производиться в более позд­ ние периоды (необратимость времени). Кроме перечислен­ ных двух ограничений наложим еще одно для упрощения

приводимого

ниже доказательства теоремы 5 . 1 .

3) Матрица А0

не содержит положительных элементов.

Т е о р е м а

5.1

(о

к а н о н и ч е с к о й

ф о р м е ) .

Для любой матрицы

производственных способов А = || а] ||,

удовлетворяющей ограничениям 1) — 3), можно

построить

модель типа

Неймана

[a,)J=x

такую, что bt (х)

= Рг( а; (х)

для всех t =

1, . .

Т

и

я > 0. Здесь Рг< — проекция

отображения

а1 на

некоторое

подпространство

*).

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

Нх

мно­

жество векторов h ЕЕ i?+ таких, что hA0

!>

—х,

hAt >

0

для t =

1, . . ., Т.

Рассмотрим

матрицу

В (0), соответст­

вующую

этим

ограничениям,

 

 

 

 

 

 

 

 

/ А0

(0)

I

0

0

0 . . .

 

0

0

 

 

 

/

0

—/ ^ ( 0 )

I

0 . . . 0

0

 

 

5 ( 0 ) =

 

о .

 

0 - / Л а ( 0 ) I . . .

О

0

 

 

 

V

0

 

0 0

0 0 . . . — /

АТ(0)

 

Здесь

/ — единичная матрица

порядка

S,

At

(0)

=

=At (t = 0, . . ., Т). Матрица В (0) обладает следующим

свойством: bt (х) =

{у | у — h (t)At (0),

h (t) EE Hx},

и все

«производственные»

процессы (строки

матрицы

В (0))

*) Это подпространство определяется в процессе доказатель­ ства теоремы.

102 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ Г Л И

имеют отличные от нуля компоненты, относящиеся только к двум смежным интервалам времени. Будем обозначать это свойство значком А.

Оставшаяся часть доказательства состоит в следующем. Определяются преобразования матрицы В (0) такие, что они не нарушают свойства А. В результате всех этих пре­ образований получается матрица В (N), которая опреде­ ляет искомую модель типа Неймана.

Пусть в матрице Л ( (0) встретилась нулевая строка, тогда вычеркнем соответствующую строку матрицы В (0), и те столбцы матрицы В (0), у которых в вычеркнутой стро­ ке стоят ненулевые элементы. При 0 < t < Т таких столб­ цов будет два, а при t = 0, Т — один. После того, как та­ кая операция будет проделана со всеми нулевыми строками матриц Ах (0), . . ., Ат (0), из матрицы В (0) получится матрица, которую мы обозначим через В (1). Матрица В (1), очевидно, обладает, так же как и В (0), свойством, состоя­

щим в том, что

bt (х)

=

{у | у =

h (t)At

(1), h (t) EE Hx}.

Здесь h (t),

Ai

(1),

Hx

— вектор, матрица и множество,

получившиеся

из h (t),

At

(0) и Нх

после

преобразования

матрицы В (0) в матрицу В (1). Это же свойство, очевидно, сохранится также и для матрицы В (2), получающейся из В (1), если во всех матрицах At (1) заменить столбцы, не содержащие положительных элементов нулевыми столб­ цами. Таким образом, матрицы-Л, (2) (t ^> 0) не содержат столбцов, состоящих только из неположительных эле­ ментов, но могут содержать столбцы, в которых встреча­ ются как положительные, так и отрицательные элементы. Наша задача теперь состоит в том, чтобы избавиться от таких столбцов, т. е. получить матрицы только с неотри­ цательными элементами. Итак, возьмем какую-нибудь ма­ трицу A t (2) (t ^> 0), и пусть в ней встретился отрицатель­ ный элемент. Тогда в том же столбце, номер которого пусть будет i, найдется положительный элемент. Отметим все такие положительные элементы. Обозначим строку ма­ трицы В (2), содержащую данный отрицательный элемент

через

а строки, содержащие помеченные элементы,

через

bh, где

к > 1. Образуем строки %s bh+1 +

+ \i3bs (s =

1, . . ., к),

где Xs, u.s >• 0 и выбраны таким об­

разом, что элемент с номером рассматриваемого столбца равен нулю. Очевидно, что такие %s и ц.3 всегда найдутся,

Смотрите также файлы