Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

П О С Т Р О Е Н И Е М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

103

цательна, а у bs — положительна. Матрица В (3)

получа­

ется из матрицы В (2)

вычеркиванием строки bh+1

и добав­

лением к строк

-f- \isbs. Из построения видно,

что

в выбранном столбце

матрицы В (3) отрицательных

эле­

дет состоять только из неотрицательных

(неположитель­

ных) элементов.

Покажем, что для матрицы В (3) свойство А имеет ме­

сто. Для этого достаточно установить,

что неравенство

S ( 2 )

2 # ( 2 ) / V ( 2 ) > 0

.

(5.1)

s=l

. 2

ВД/У(3)>0,

(5.2)

S=l

S

(2)4*

+

2

и" (3) ( b £ + 1 (2) >V S (2) + b t s( 2 ) (2) n _ s (2>) >

0.

S = S (2)+X

Отсюда,

после

приведения

подобных

членов, имеем

к

2 ( l +

t O ^ ( 2 ) ( u 4 3 ) + u s + S ( a

) (3))

+

s =l

S (2)

S (2)4*

+

2

Ъ\(2) Л*(3) +

Г

2

^-s( 2)fcs (3)l К+1 >

0.

S=K+2

S=S (2)+l

104

М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

Если в этом неравенстве положить

(1 + и,) (А" (3) + A s + S

( 2 ) (3)) = hs (2)

(s = 1

/с),

US (3) =

AS (2)

(.5 = /с + 2 ,

S (2)+fc

2

^ ( в Л в ( 3 ) =

Ай + 1 (2),

s=S (a)+i

число

раз, придем к матрице В (N), у которой все матрицы

At (N)

содержат только неотрицательные элементы.

§ 6]

Т Е М П Ы

РОСТА М О Д Е Л И

Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

105

(t = 1, . . ., Т),

где а, —

отображение,

определяемое су­

перпозицией

отображений

а0,

а,-х.

Действительно, конус

Zt

состоит

из

пар (х,

у)

таких,

что

х

имеет

размерность

nt

+ Sh

у — соответственно

п1+1

+

St+1, где St и SH1

— числа,

быть может,

меньшие

S,

поскольку

при переходе

от матрицы В (0) к

В

(1) не­

получить множество bt (х), следует взять проекцию at (х)

на первые

nt координат.

Теорема

доказана.

дальше в тексте но ходу

изложения.

§ 6. Т Е М П Ы РОСТА МОДЕЛИ Н Е Й М А Н А -

Г Е Й Л А

1. Состояния

равновесия

и темпы

роста. Нейманов­

ский темп роста. Рассмотрим модель Неймана — Гейла Z

(Z CZ R+ X

R+);

через а обозначим производственное ото­

бражение

этой

модели.

состояние

равновесия

модели Z,

Говорят, что

задано

если указаны положительное число а, процесс

(х,

f) ЕЕ Z

и функционал

р ЕЕ (#+)* такие,

что

аг<г/;

(6.1)

р

(у) ^

ар (х)

для

всех

(х,

у) ЕЕ Z;

(6.2)

Р

(b) >

о.

(6.3)

Обозначим рассматриваемое состояние равновесия че­

рез а. Таким образом, по определению, о* = (а,

(х,

у),р).

Число а

= а

(а), фигурирующее в определении состоя­

мости продуктов

по ценам

р).

Отметим сразу же, что условие (6.2) можно

записать

в виде

^рЕЕа'(р),

(6.2')

где а' — отображение, двойственное к а.

Полагая в (6.2) (х, у) =

(х,

&)и привлекая (6.3),

полу­

чим 0 < р

(у) ^

ар (х),

откуда следует, что

р (х)

>

0.

В силу

(6.1) ар

(х)

^

р

(у),

и потому, снова

используя

формулу (6.2) при

(х,

у)

=

(х,

у), имеем ар (X) =

р

(у).

Учитывая, что р

(х)

^> 0, мы можем выразить теперь темп

роста а (а)

через остальные параметры, входящие в состоя­

ние равновесия

о: именно

(

6 - 4 )

a S E a ( J ) ,

~рЕЕа'{р),

p ( S ) > 0 .

(6.5)

Рассмотрим

модель

Неймана — Гейла

Z

такую, что

Р г ^ = Щ.. В

этом случае отображение а',

двойственное

к а, входит в А

((.#+)*, (#+)*)> и

потому можно рассматри­

дели Неймана — Гейла Z'. Имеет место

П р е д л о ж е н и е

6 . 1 .

Пусть

а ЕЕ А

(Л+,

Л+).

Число

а

является

темпом

роста

отображения

а тогда и

только

тогда,

когда 1/а

— темп роста

отображения

а'.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1)

Пусть

a — темп

роста

отображения

а,

входящий

в

состояние

равновесия

(а,

( « ,

у),

Р)-

Тогда

ах

<

у, откуда следует,

что

Т Е М П Ы РОСТА

М О Д Е Л И

Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

107

аХЕЕпа(Х)

=

а" (х).

Из соотношений

^рЕЕа'(р),

аХЕЕа"(х)р

р(Х)>0

следует,

что

1/а — темп роста а'.

2) Пусть

р — темп роста отображения а'. Тогда,

как

следует

из первой части предложения, 1/р — темп

роста

отображения а" = па. Таким

образом, найдутся х ЕЕ R+

и р ЕЕ

для которых у Ж ЕЕ па (х);

$р ЕЕ (а")'

(р)

=

=

а'

(р),

р

(х)

~~> 0.

По

определению

нормальной

обо-

лочки, существует элемент

~

1

_

у ЕЕ а (X) такой, что -^Х

г=С у.

Это означает, что

(х, у), р^ является состоянием рав­

новесия

отображения

а.

Предложение доказано.

Введем в рассмотрение некоторые характеристики мо­

дели Неймана — Гейла Z,

которые понадобятся при изу­

чении

темпов

роста

этой

модели.

Темпом

роста

процесса

(х, у) ЕЕ Z

назовем

число

а

(х, у),

определяемое

формулой

а (я, у)

=

sup {а | ах < : у}.

(6.6)

Если

х =j= 0, то

а (х,

у)

<

оо; при этом супремум

в

формуле

(6.6)

реализуется.

Очевидно,

а (0, 0) =

+

оо.

индексов

{ 1 , 2, . . ., п}.

Если

х ЕЕ R+,

то

положим

Ix —

{i €Е / | х1 ^> 0} .

Если а — неотрицательное число,

6 =

0, то,

по определению,

у =

оо. Используя эти со­

глашения,

можно записать

темп

а (х, у) в виде

а (х, у) =

m m ^- =

m m ^ .

П р е д л о ж е н и е

6.2. Функция

а,

определенная

на конусе Z

формулой а: (х,

у) —> а (х,

у), полунепрерывна

сверху и положительно однородна

нулевой степени (послед­

нее означает, что а (х,

у)

=

а (Хх, Ху) при

X >

0).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положительная

однород­