Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

10S

М О Д Е Л Ь

Н Е Й М А Н А

—

Г Е Й Л А

[ Г Л .

I I

ЕЕ Z, (хп,

уп)

—> (х, у). Не умаляя общности, считаем, что

х =j= 0. Возьмем

произвольную

предельную

точку

а

по­

следовательности а (хп,

уп)

и выберем

из последователь­

ности {{хп, уп))

"подпоследовательность ((xni,

yni)),

для

которой l i m а

(хп.,

уп.)

= а. По определению темпа роста

процесса,

Из (6.7) сразу следует, что а <

со (в противном случае

х = 0). Переходя в (6.7) к пределу, получим, что ах

у,

откуда следует неравенство

а^.а(х,

у). Так как

а —

произвольная

предельная

точка

последовательности

(а (жп, Уп)),

т о

Нт. « (*т Уп)

<

а

(я. */)•

Предложение доказано.

Из предложения 6.2

следует, что функция а достигает

нием а на множестве Z \

{0}. Сказанное позволяет вве­

сти следующее

определение.

Чпсло

a (Z) =

max

а (х, у) =

max

а (х, у)

(*. v)<=z

(х, j/)ez

llfct, V)||=l

(X, ?/)=^0

называется

неймановским

темпом роста

модели Z.

Из

условия

Рг2 Z f") i n t R+ =1= ф

мгновенно

следует,

что

a (Z) ^> 0. Процесс

(х,

у)

из конуса Z называется нейма­

новским,

если

а (х,

у)

=

а (Z).

Заметим,

что для

ней­

мановского

процесса

(х,

у)

выполняется

неравенство

a (Z)x ^

у. Состояние равновесия а модели Z называется

неймановским, если

а (а)

= а

(Z).

лим темп роста траектории (xt) как inf а

(I).

Легко видеть,

что если отображение а нормально, то a

(Z)

= max inf a(t),

i

§ б]

Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

109

(Последнее означает, что матрица оператора А

неразложима.)

Рассмотрим

модель

Неймана — Гейла Z, определяемую

произ­

водственным

отображением

а

: Л "

—>• П (Л"),

где

•

а

(х)

=

<0,

Ах>

= {у

е R1

| у

^Ах].

Пусть

о = (а,

(х,

у),

р)

—

состояние

равновесия

модели

Z.

Тогда

ах

< у

< Ах;

р

(Ах)

<

ар

(х)

(х

е

(6.8)

Как известно (см. Гантмахер [1]), неравенство ах^Ах

при

усло­

вии неразложимости матрицы оператора А

влечет

равенство ах

=

— Ах.

Таким

образом,

а — собственное

число оператора А,

х

—

шений (6.8), получим,

что

у = а х =

А

х .

Записывая

второе из

этих соотношений в вице

А* р

^ ара

используя снова теорию нераз­

ложимых матриц, получим,

что А*р

=

ар,

т.е. р —

собственный

собственные векторы операторов А

и А*

соответственно;

при этом

2 ^> 0,

р

0.

Темп

роста процесса

(х, Ах)

запишется в виде а

(х, -4а;) =

(Аху

— m i n

: — Отсюда следует, что

i e i

хг

(Ах)1

a ( Z ) = m a x m m

: —

ж »

i s i

я 1

(где a

(Z)

— неймановский

темп

роста). Последнее означает, что

собственным

числом оператора А);

2) если

2

и р

— собственные

элементы

операторов А

п А*

соответственно, то каждое состояние равновесия а модели Z

имеет

вид

а

=

(a

(Z); (Хг, ХАх),

рр), где X,

и. > 0.

110

М О Д Е Л Ь

Н Е Й М А Н А

— Г Е Й Л А

[ГЛ .

И

П р и м е р

2. Рассмотрим модель

Неймана Z, где Z —

конус

в ^ Х

R*,

являющийся конической

оболочкой

следующих

про­

цессов:

Vi)

—

( 2 e i

+

е2,

9в! +

6е3 ),

(х2 ,

у2)

==

(е2

+

2е3 , ех +

6е2 ),

(*з. Уз) =

(2 ез

+

2 e i +

4ес , 4ех

+

е2 +

4е3

+

4е* +

2е5),

(х4 ,

i/j) =

(е2

- f

4е3

+

4е4

2е5 > ех

+

4е3

+

2ец

+

4е5 ),

(*5>

Уь)

=

( 2 «i

+

2«4, в4 +

е6 ),

(го,

уй)

—

(е2

+

2е6 ,

е3).

(Здесь

е\ обозначает i-й орт пространства

R5

(i =

1,

2, . . .,

5).)

Опишем все состояния равновесия этой модели. Для этого

найдем ее темпы роста. Если а — темп роста модели Z, то неравенсг-

во ах

<

у

должно иметь решение хотя бы при одном (х,

у)

(Е

Z\

\

{0}. Поскольку

элементы

(х,

у)

конуса

Z

имеют

вид

(х,

у)

=

6

=

2

(XU

Vi)

(г Де

^

0 (£ =

1, 2,

. . .,

6)),

то векторное нера-

i=l

венство ах <

у

записывается в координатном виде как

следующая

система

(А)

скалярных

линейных

неравенств:

(h

+

а ( 2 ^ +

2ХЪ)

<

6A,2

+К

+

4А3

+

%i,

(Ах)

а

h

+ hi

+

h)

<

- f Xs,

(A

)

2

a

{2X2

+

2X3

+

4X4) <

GXj,

+

4Я.3

+

4X4

+

XB,

(A3)

a

(2X3

+

4Я4 +

2ХЪ)

<

4Я3

+

2Xi + X5,

(A4)

а

(4Я3 +

2Xi

+

2Xa)

<

2X3

+

4X4

+

Хъ.

(Аъ)

Таким образом, если а

— темп роста модели, то система нера­

венств (А)

должна

иметь хотя бы одно ненулевое

положительное

решение.

С другой стороны, число а

должно

обладать

тем

свойством,

что при некотором р i> 0

неравенство' р

(у)

^

а

р

(х)

имеет

место

для всех (х,

у)

£Е Z. Справедливость

этого неравенства

достаточно

проверить

лишь

на образующих

((х{, !/{))|=1

конуса Z . Итак,

если

а

— темп роста модели Z, то имеет ненулевое положительное реше­

ние следующая

система

(В):

9р* +

6 ^ <

a

(2pi +

р2),

(Вг)

р* +

Ър2

<

а

(р2

+ 2рЗ),

(В2)

i f

+

Р 2

+

4

р

з

+

i p i

+

2

р\

< « ( 2 ^ +

2 ^ + 4 ^ ) ,

(В

)

3

pi

+

i p

s

+

2р*

+

кр\

<

а

(р2

+

Ар»

+

bp*

+

2р%

(Д4 )

pi

+

p*^a

(2?

+

2 У ) ,

( Д . )

р3

<

а (р2

+

2f).

(Д0 )

Нетрудно убедиться в том, что система (В)

не имеет решения

*)

при а <

1 (для этого достаточно сложить неравенства

(Д3 )

и

(Bi)).

Обратимся теперь к системе (А).

Непосредственным подсчетом про-

§ 6]

Т Е М П Ы

РОСТА

М О Д Е Л И

Н Е Й М А Н А —

Г Е Й Л А

111

вернется, что эта система имеет решение при а

=

1. (Ниже приве­

дены все решения этой системы в данном случае.)

Предположим

теперь,

что

эта система имеет решение [Х1:

Xj, Я.3, Xt,

Х5, Хв)

при

а >

1.

Складывая

неравенства

(At)

и

( Л 5 )

, убедимся, что в этом

случае

Х3

=

Х4 =

%ъ

=

Х$ =

0.

Используя

это обстоятельство,

преобразуем

систему (А)

в следующую систему (А')

(относительно

переменных

Ях и Я.2):

2аХг

<

9 ^ +

%2,

(А[)

аХх

-f-

aXj, <

6 ^ ,

( 4 2 )

2 c d 2

<

6ХХ.

Ид)

Заметим,

что

A,j ф

0.

(В

противном

случае

из

(Аа)

следует,

что

г,

Я2 =

0, а

это

невозможно, поскольку

^

>

0-) Тагам же овра­

г у

зом, привлекая (А2),

можно показать, что Х2

Ф

0- Разделив неравен­

ства (AJ,

(А'2)

И (А3)

на Я-! и исключая отношение A,2/^i из получен­

ной

системы,

придем к следующей системе неравенств относитель­

но а:

а ( 2 а - 9 ) < 3 ,

" б Т Г 7 < 3 .

(6.9)

Решая

систему

(6.9),

получим,

что среди чисел,

больших

еди­

Пусть Ш Е ( 1 , 3). Предположим, что это число является тем­

пом роста модели, и пусть а —

(а, (Я,

у),

~р) —

состояние

равнове­

сия

с темпом роста

а. Напомним,

что по

определению

состояния

равновесия р

(у)

> 0. (Иными словами,

найдется

хотя

бы

один

индекс

£ (1 <

i

<;

5), при

котором р{

>

0, у1

>

0.) Пусть

(ж,

у) =

с

=

^

^1 ixU

у\)-

Так

как

a >

1,

то

Х3

=

А"4

=

Хй

=

~Хв

=

0, и

H a l o ­

i

d

му

у

=

Хм

+

~Х2

у2

= (9\

-f- Х2)

ег

+

бХ2е2

+

6Х\е3.

Таким

обра­

зом,

г/4

=

jf* =

0. С другой стороны, складывая неравенства

(Вг)

и (6 2 ) и учитывая, что a <

3, убедимся в справедливости

равенств

Pj

=

р 2

=

р3

=

0. Мы показали, что £ (£) =

0;

стало быть,

наше

предположение

было неверным, т. е. среди

чисел

из

интервала

(1,

3) нет

темпов роста.

Покажем теперь, что числа a =

1 и a

=

3 являются темпами

роста модели, и опишем все состояния равновесия,

отвечающие

этим темпам.

1) Пусть

a

=

1.

Нетрудно

проверить,

что при

a

=

1 система

Рассмотрим теперь систему (А).

Из неравенств (At) ж (Аъ) при a = 1

следует, что Ха = 0; 2XS = 2Х&

+ Х§; используя это обстоятельство,