Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

112

М О Д Е Л Ь

Н Е Й М А Н А

— Г Е Й Л А

[ГЛ .

I I

систему

(А)

можно

переписать в рассматриваемом

случае

следу­

ющим образом:

1

Я1 ^

5Яг +

~~2~ Яв,

А

Я2 <

ЗЯ1 +

Xi + —

Я5,

J>

(6.10)

2Я., +

Я5

=

2Хз,

Яв =

0.

в

Система

(6.10)

имеет

решения. Пусть

(.г, у)

=

^

(xii

т),

где

i=l

(Я^

Я2 ,

. . .,

Яй) —

решение

системы (6.10). Тогда

если Я3

- f Я4 +

+

Я5

>

0, то р

(у)

>

0; в противном случае р

(у)

=

0. Таким обра­

зом,

число а

=

1 является темпом роста модели; состояния

равно­

б =

(1. (*, ~А

р),

5

где

р =

(0,

0,

0, р.,

\\)

(и. >

0);

(S,

у)

=

^

Я* (г{ , де),

где

числа

Ях ,

Я2,

. . .,

Я5

являются решением

системы

Я1 ^

5Яа -|- —Я5,

1

Яг <Г, ЗЯ1 +

Я< -(- ~~2~Xs,

2Xt +

Я5

=

2Яз,

0 <

Яз +

Я4 +

Яб.

2) а =

3. Как было показало выше, решение (Ях ,

Я0) системы

(А)

в случае, если а >

1, обладает тем свойством, что Я3

=

Я4

=

Я5

=

= Я а = 0 ; при этом числа Х1 и Я, удовлетворяют системе (А'),

решения­

ми которой

в нашем

случае "(а =

3) являются пары чисел (Я1 ; Я2 )

такие, что Ях

=

Я2 . Таким образом, если а

=

3 —

темп роста

и про­

цесс (х,

у)

входит в состояние равновесия, отвечающее этому темпу,

то

(г,

у)

=

Я (2ex +

2е2 +

2е3 ,

1 0 в 1

+

6е2

+

6е3 )

(где

Я >

0).

Рассмотрим теперь систему (В)

при а =

3. Из неравенств (В{)

и

(В2)

сразу следует, что р1

=

0; р"1

=

2 />3. Используя это обстоятельство,

ми системы (В)

при а

= 3 тогда и только тогда, когда

= 0, £ г

=

= 2р3,

ръ

^ 5pi;

при

этом

(у)

> 0 в том и только том случае, ког­

да р3

>

0.

Таким образом, число а

=

3 является темпом роста модели

Z .

а =

(3, Я ( 2 в 1 +

2е2 + 2е3 ,

Юг,. + 6е2 +

6«3 ),

(0,

2 v, v, х ,

со)),

(6.11)

где Я > 0, v >

0, 0 < со <

5 х .

§ 6]

Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

ИЗ

Мы описали все состояния равновесия модели Z . Заметим, что

когда а — состояние равновесия модели Z,

где Z

— конус, натяну­

тый иа пары (xit i/i) (£ =

1, 2, 3, 4, 5).)

Отметим еще, что темп роста а = 3 модели Z

является и нейма­

новским темпом роста а

(2) этой модели. В

самом деле, три — это

мановский процесс модели Z

единствен

(с точностью до множите­

ля)

и

совпадает

с парой (хг

-\- х2,

уг

-\-

у2).

. П р и м е р

3. Пусть / —

строго вогнутая функция, определен­

ная

на

[0, -f- оо) и такая, что / (0)

=

0,

l i m

/ (х)

= 1.

В конусе

R^XR\

К-*+оа

(u-\-i,X)),

рассмотрим множество Й, состоящее из пар ((u.,1),

где

м ^ О , А , < / ( ц ) . Очевидно, что

Q

выпукло.

Конус Z, совпа­

дающий с замыканием конической

оболочки

Со (£2) множества Q,

посредственно проверяется, что кроме

лучей

(u.z)^> 0 ,

где

z €= Q,

конус Z

содержит лишь луч, проходящий через точку ((1, 0), (1, 0)).

Найдем

неймановский темп роста модели Z.

Пусть

(х,

у) €Е Z,

(х, у) =

((и, 1), ( и +

1, %)). Тогда

а(х,

/ " +

1

\

y) = m i n \ — —

,

%] = %.

потому Я . < / ( и ) < 1 . Если же (х,

у)

=

((1, 0), (1, 0)), то а (х, у) = 1.

Итак,

a (Z) = max а (х,

у)

= 1.

При этом модель Z имеет единственный (с точиостыо до множителя)

неймановский процесс

((1, 0), (1, 0)).

Предположим, что а =

(а, {х,

у),

р)

является состоянием равно­

весия модели Z . Рассмотрим отдельно два случая, в зависимости от

того, совпадает

(х, у)

с

неймановским

процессом или нет.

1) Я У) =

( ( й , 1 ) . ( «

+

1,

U )

(где

5 > 0 , 0 < £ < / ( « ) ) .

ности, следующие

неравенства:

ай <

й +

1,

а < 1 ;

(6.12)

р1

(и +

1) +

p"-f (и)

<

ори

+

ар-

(и >

0).

(6.13

Из (6.12)

следует,

что

а <

1,

н

потому

/ (ц) ;> а

при

достаточно

больших

и.

Переписывая

(G.13)

в виде

(1 - a)

phi

+

JP- <

f-

(а -

}

(и))

( и >

0),

,

убедимся в том, что это неравенство возможно лишь при р1

= р = 0,

114

М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

[ Г Л . I I

« <

1,

(1 -

а) рЧ +

p i < p z ( a - f

(и))

(и > 0),

(6.14)

Р (V) = Р1 >

0.

(6.15)

Выше уже отмечалось, что случай а <

1 невозможен. Пусть а = 1.

Тогда, в силу

(6.14),

Р1 < Г (1 - / М )

( и > 0 ) .

Переходя в этом неравенстве к проделу, получим, что р1

= 0, а это

противоречит (6.15).

модель Z

не

имеет

темпов

роста.

Мы показали, что

3. Неймановское

состояние

равновесия.

Из

результа­

мановского

темпа роста.

П р е д л о ж е н и е

6.3. Пусть Z — модель Нейма­

на — Гейла

(Z CZ R+

X

R+).

Тогда найдется функционал

р ] > 0 такой, что для всех (х, у) ЕЕ Z

р

(у)

^ a

(Z)

р (х)

(6.16)

(где a (Z) — неймановский темп

роста модели

Z).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

в пространстве

Rn

множество

С =

[у

— a

(Z)x \ (х,

у)

ЕЕ Z).

Так

как

Z — выпуклый конус, то и С является выпуклым конусом.

Из

определения

неймановского темпа

роста следует, что

С f j i n t i?+ = 0 ,

и

потому

существует

функционал

р

такой, что ~рф0

и

max p(z)

= 0 =

m i n р

(и).

z ec

u e

R n

1)

конус

Z

многогранен

(;?г.

е. Z — модель

Неймана),

2)

существует неймановский процесс (х,

у) такой, что

у^>0.

Тогда

модель Z обладает неймановским состоянием

равновесия.

Пусть а — a, (Z), (£, у) —

Д о к а з а т е л ь с т в о .

неймановский

процесс, у которого Тх

ZD Ix, Iy

ZD Iv

для

любого неймановского процесса (х, у).

Рассмотрим множе­

ство

Vt CZ Rn

X Rn

X R1,

состоящее

из

всех

векторов

вида

(—ах,

у, 0)

(где (х,

у) £= Z), всех

векторов

вида

(у, —ах, 0) ((х, г/)е=2) и вектора (Q,—aZ,

1). Через V обозна­

X R+ X Rl).

Нетрудно

проверить

что

(и,

v,

u.) £Е V

тогда

и только тогда, когда

(и,

v, р) =

(ии

г>1,

ц3 )

+

(и2,

гл>, р2 )

+

X (и3,

v3, p,3 ),

где

иг

<

—ахг,

vx <

уи

рх <

0,

и3

<

у», v2 <

— ах2,

и2

<

0. и3

^

0, vh

<

—ах,

и3

<

1, X >

0 (здесь (хи

г/0

и

(ж«, г/о) — процессы модели

Z).

Сформулируем

теперь задачу

(Д) выпуклого програм­

мироваиия:

максимизировать

а при условии

(—as,

0, и,) Е= V.

Найдем решение этой задачи. Если

(—ах,

0, p.) ЕЕ V,

то, как следует из сказанного выше,

—аЖ =

щ -f- u 2

+

k u 3 ,

0 = г>! +

г;2

+

Xv3,

Р> =

И-1 +

u.a

+

Xii3,

причем для некоторых

процессов

(х1 т у0 и (х2 , у2 ) из Z

выполняются

неравенства

^

—ахи

щ <^ г/г,

ий ^

0,

иг

^

уи

гл, ^

— ах2,

vs

^

—aS;

кроме

того,

|д,х

0,

р 2

р,3

^

1, ?>« >

0. Таким образом, процессы (хг,

ух),

(х2,

у2)

и числа X, [л удовлетворяют неравенствам

—as

—axj. -f- у2 , Лая ^ ?/i — аж2,

p, ^

X.

(6.17)