Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

34

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . I

3. Опорные линейные функционалы. Пусть К — вы­ пуклый замкнутый конус в пространстве X. Для подмно­ жества U пространства X* и элемента х ЕЕ К положим

qu(x) = vaih(x).

(2.2)

hf=U

 

В случае, когда да (я) ! > — °°

для любого х ЕЕ К,

функ­

ционал qo, определенный на

конусе К формулой

(2.2),

является суперлинейным. Важнейший факт теории суперлинейных функционалов заключается в том, что справед­ ливо обратное утверждение: каждый суперлинейный функ­ ционал представим в виде (2.2). Это утверждение было впервые доказано, по-видимому, Фенхелем [1].

Прежде чем привести точную формулировку теоремы Фенхеля, дадим следующее определение: линейный функ­ ционал h называется опорным к суперлинейиому функцио­

налу q, определенному на конусе К,

если для любого ж ЕЕ i f

h (х)

> q (х). Множество

всех

линейных

функционалов,

опорных к q, обозначим через

Uq.

 

 

 

 

 

 

 

В этих терминах интересующий нас результат форму­

лируется

так.

 

 

 

 

 

 

 

 

ь). Если

q ЕЕ Q

(К),

Т е о р е м а

2.1 (В. Ф е и х е л

то множество

Uq

непусто]

при этом для любого х ЕЕ К

 

 

 

 

 

 

 

q(x)

=

inf

h(x).

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим подграфик

 

 

Zq

=

{(х, ji)

ЕЕ X

X

R1

| х ЕЕ К,

р <

q (х)}

 

функционала

q.

Так как

q ЕЕ О (К),

то Zq

— выпуклый

замкнутый конус. Пусть у — произвольная

точка из

К,

в —

произвольное

положительное

 

число.

 

Поскольку

{у. Я (у)

+ Б )

9 = Z g , то, используя теорему отделимости, мож­

но указать

функционал

g

ЕЕ (X

X

R1)*,

для

которого

g

((х, ii))

>

0 ((х, ц)

ЕЕ Zq),

g (у,

q (у)

+

в ) < 0.

(2.3)

Так

как

 

g ЕЕ (X

X

R1)*,

то g =

(/,

с), где / ЕЕ X*,

с ЕЕ

ЕЕ i? 1 .

(Мы

используем

равенство

 

{X

X

i ? 1 ) * = X* X

X i?1 .)

Из

(2.3)

теперь

вытекают

соотношения

 

 

 

 

 

/ (х) +

са (х) >

0

(х ЕЕ К),

 

 

(2.4)

 

 

 

 

 

f (У)

+ с (q

{у)

+

в ) <

0.

 

 

(2.5)

П У 1 1 Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

35

Положим в (2.4) х = у и из полученного

неравенства

вычтем (2.5). В результате имеем — се

0, откуда

следу­

ет, что с <С 0. Переписывая (2.4) в виде — (1/с) / (х)

^

q

(х)

{х ЕЕ К), получим, что — (1/с)/ ЕЕ Uq. Таким образом, Uq

=f=

фф. Кроме того, в силу (2.5) — (1/с)/(х)

<Cq(y)

+

е, откуда

ввиду произвольности евытекает равенство q (у)

=

i n f

h(x).

Теорема

доказана.

 

 

 

 

 

 

Наша задача заключается теперь в описании тех под­

множеств

пространства X*, которые

можно

рассматри­

вать как совокупность всех линейных функционалов, опор­ ных к некоторому суперлинейиому функционалу, опре­

деленному на

К.

 

 

 

 

 

 

 

 

4. JT-опорные множества. Непустое подмножество U

пространства X*

назовем К-опорным,

если оно выпукло,

замкнуто

и,

кроме

того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U +

К*

dU,

 

 

 

(2.6)

inf

h (х)

^> — сю для любого

х ЕЕ

К.

 

 

 

hi=U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остановимся более подробно на свойстве (2.6). Так как

0 ЕЕ К*, то для любого множества Q справедливо вклю­

чение Q + К*

ZD Q- Таким

 

образом,

если множество Q

обладает

свойством

(2.6),

то

 

U +

К*

— U.

 

 

Множество Q, удовлетворяющее условию Q +

L — Q,

где L — выпуклый конус, мы будем

называть L-устой-

чивым. Нетрудно проверить, что L-устойчивость множества

Q равносильна тому, что с каждой своей точкой х это

мно­

жество содержит конус х +

 

L с вершиной в точке х.

Таким образом, условие (2.6) в определении ^"-опор­

ного

множества

U означает,

 

что

множество U 'является

i f *-уст ойчивым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

U есть it-опорное множество, то для х ЕЕ

К

по­

ложим, как и выше,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qu(x)

=

iaih(x).

 

 

 

(2.7)

 

 

 

 

 

 

леи

 

 

 

 

Справедливы следующие

леммы.

 

 

 

Л е м м а

2 . 1 . Если q ЕЕ

Q (К),

то множество

Uq

яв­

ляется

К-опорным.

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

очевидно.

 

 

 

 

 

2*

36 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ГЛ . I

Л е м м а

2.2. Если подмножество U пространства X*

является К-опорным,

то функционал qu, определенный на

К формулой

(2.7),

суперлинеен.

Доказательство

очевидно.

Л е м м а 2.3. Пусть

Uj

и U2 суть К-опорные

под­

множества пространства

X*;

qu, и qu, — суперлинейные

функционалы, построенные по множествам их и U2

соот­

ветственно с помощью формулы (2.7). Тогда если Ux

=f= U%,

то qu, =f= qVl.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

He умаляя общности,

мож­

но считать, что найдется линейный функционал g такой, что g £Е Ui и g ^ V\. Так как £/2 выпукло и замкнуто, то,

используя

теорему отделимости, найдем элемент х про­

странства

X, для которого*) i n f h ( x ) ^ > g ( x ) .

 

леи,

Покажем, что х €= К. Будем считать, что К =j= X (в

противном случае наше утверждение очевидно1*. Если х ф. ф К, то, снова применяя теорему отделимости, иайдем

линейный функционал

/ такой, что / (у) >

0 (у EiK),

/ ( х ) < [ 0 . Пусть fe'€E Uг.

Так как множество

С/2 является

^•-устойчивым и / Е Е К *, то при любом % ^> О функционал

К +

V

принадлежит U2

и потому

 

 

 

 

g- (х) < inf h(х) <

inf (h' +

Kf) (x) =

— оо,

что

невозможно. Таким

образом,

х ЕЕ К.

Имеем

 

 

qu, (х) = inf h (х) > g (х) >

inf Л (х) =

qUx

(х),

 

 

Леи»

 

heUi

 

 

откуда

и следует, что qu,=i=qu,-

 

 

 

Лемма доказана.

 

 

 

 

Совокупность всех Z-опорных

подмножеств

простран­

ства X * обозначим через TLQ (К). Для U Е Е П(? (К) поло­ жим

Ф (U) = qu,

(2.8)

где qu — функционал, определенный формулой

(2.7).

Т е о р е м а 2.2. Отображение <р, определенное форму­ лой (2.8), осуществляет взаимно однозначное соответствие между множествами TLQ(K) и Q (К).

Доказательство следует из теоремы 2.1 и лемм 2.1—2.3.

*) Мь\ воспользовались здесь тем, что X** = X.

§ 2] С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы 37

 

Приведем

теперь несколько примеров.

 

П р и м е р

1. Пусть

X

=

Вп,

К

=

Л " ,

 

 

 

 

 

 

4=1

'

 

 

Как

было показано при исследовании примера 5 в п. 2 для х ^> О,

 

 

 

 

 

 

 

•п.

 

 

 

 

 

q(x)

=

mm—

У.

zV,

 

 

 

 

 

 

 

1=1

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

где

Z —

{z е

Д™ | | J z * =

1).

Нетрудно

проверять, что для

 

 

 

i = l

 

 

 

 

 

 

всех х е

Л "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (а-) =

inf

_ L

^

А \

(2.9)

 

 

 

 

 

 

 

i = i

 

 

Рассмотрим в пространстве *)

(R71)*

множество

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

^ = { / е ( л п ) * | П / * > 1 } .

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

Нетрудно

проверить, что множество

— U является (Д")*-опорным.

 

 

 

 

 

 

 

п

 

+

Кроме того, как легко следует из

(2.9),

 

 

 

 

 

д (х) =

inf

/ (.г).

 

п

1

Таким образом, Uq = — U. На рис. 2 заштриховано это множество

(п = 2). В данном случае Uq совпадает с выпуклым множеством, ограниченным одной из ветвей равнобочной гиперболы.

П р и м е р 2. Пусть

X =

R2,

К = R\,

д (х) = (

+

Vя-)2

(х е Л

*) Выбрав в пространстве (/?")* естественный базис, мы можем интерпретировать элементы этого пространства как л-членные наборы чисел, т. е. как элементы Л п . Нам, однако, будет удобно различать элементы Rn и (Rn)*. Условимся в дальнейшем i-yio координату функционала / обозначать так же, как и в случае век­ тора из Rn, через /*.

38

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ . Г

(см. пример 4 в п. 2). Функционал / входит в UQ тогда и только

тогда, когда для всех 1 Е й ' +

+ fbfl > ( +

ут»)«.

 

1

Преобразуя последнее неравенство,

получнм, что - ^ (f1 — 1) 3 * +

+— (Z2 — 1) я2 > y V z 2 , т. е. линейный положительпыйфуикционал

(Z1 —

- у - (/а

1) j опорен к суперлинейному функционалу

 

 

 

Рис.

2.

 

 

 

 

Рис. 3.

q

(х) — Yхххг.

Привлекая

результат предыдущего примера, имеем

(У1 —

1) (Z2 —

1) >

1.

Таким образом

(рис.

3),

 

 

 

 

 

 

 

(f1

- ! ) ( / * - 1) > 1).

 

П

р и м е р

3. Пусть

X — R2,

К =

X.

В этом случае К* =

=

{0}.

Положим

для

i £ X

 

 

 

г

1

0 / 2 ^ хг

Рис. 4.

q (я)

=

m i n (2.*1

+

* 2 ,

а:1 +

2х2 ).

(2.10)

Иными

словами, q

{х)

=

m i n (Д (х), /2

(х)),

где

Д

=

(1,2),

U

= (2, 1).

 

 

 

 

 

Нетрудно проверить, что в данном слу­

чае

Uq

совпадает с отрезком

О (flt

 

/а ),

со­

единяющим точки /х и /2 (рис. 4).

 

 

 

 

П р и м е р

4.

По-прежнему

считаем

X = R2,

К = Л 2 ,

функционал д'

опреде­

лен на

конусе

Я *

той же формулой (2.10),

что и

и

примере 3. В

этом

случае

Uq =з

=

0 ( / i , /2) +

( А » ) * (рис

5) .

П р и м е р 5. Конус

.ЙГ совпадает

с верхней

полуплоскостью,

X — Я 2 , функционал q определен на К формулой (2.10).

Множество

Uqип

смьм. наj i a рисрии. 6о.. (Заметим,^оаметиА что в этом случае К* совпадает

с конусом

{(о,

г/) е ( л 2 ) * | и > 0},)

 

Смотрите также файлы