Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2]

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

39

 

П р и м е р б . Пространство X и функционал q таковы же, что

и

в предыдущем примере, К совпадает с нижней полуплоскостью;

Uq

см. на рис. 7.

Рис. 5. Рис. 6, Рис. 7.

5. Функционалы, опорные в точке. Пусть q ЕЕ Q (К) где К — выпуклый замкнутый конус в пространстве X. Линейный функционал h называется опорным в точке

х

ЕЕ i f к функционалу q, если h опорен к д и , кроме того,

h

(х) = q (х).

 

Множество всех опорных к д в точке х функционалов

обозначим через {UQ)x. Заметим, что это множество, вообще говоря: может быть и пустым. Множество (Uq)°, однако, всегда непусто; действительно, поскольку суперлиней­

ный функционал в нуле обращается в нуль,

то

{Uq)° —

Имеет место

2.3. Пусть

q ЕЕ

Q (К), х0 ЕЕ

riK. Тогда

Т е о р е м а

множество {Uq)X!i

непусто.

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1)

Предположим

сначала,

что К — воспроизводящий конус. В этом случае х0 —

внутренняя точка

К. Рассмотрим теперь подграфик Z =

=

{(х, U-) ЕЕ X X-R^J

х ЕЕ К', \tt ^ q (ж)} функционала q. Из ус­

ловия теоремы следует, что Z — выпуклый телесный замк­

нутый конус. Так

как (х0, q (ж0 )) — граничная точка ко­

нуса Z, то мы можем провести через эту точку опорную к

Z

гиперплоскость.

 

40 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ГЛ.1

Иными словами, найдется ненулевой функционал (h, v)

из {X X

R1)*

такой,

что

 

 

 

 

 

 

 

h

(х0)

+

vq

(so)

=

0,

(2.11)

h

(х) - f

v u <

0

 

 

(х

Е ^

,

ц < q (х)).

(2.12)

Покажем прежде всего, что v Ф 0. Действительно, в

противном случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А (х0 )

=

0,

l i e

-

Я * .

(2.13)

Так как х0 — внутренняя точка К, то каждый ненуле­ вой линейный функционал, принимающий на К неположи­ тельные значения, должен быть в точке х0 отличным от нуля; таким образом, (2.13) возможно лишь в том случае, когда h = 0. Последнее однако, не имеет места, поскольку (h, v) ф 0. Предполагая, что v <[ 0, получим из (2.12) при х = 0

0 = h ( 0 ) < - v|x

(ц < q (0) = 0),

что невозможно, так как \.i принимает отрицательные зна­ чения.

Таким образом, v ^> 0. Не умаляя общности, можно считать, что v = 1. В этом случае из (2.12) следует, что

q (х)

< — h

(х)

(ж 6Е

К),

 

т. е. — h €Е С/,.

Кроме

того,

в силу

(2.11) —h(x0)

=

=q (ж0 ), н потому —Л ЕЕ (£/*").

2)Если К — невоспроизводящий конус, то рассмотрим аффинную оболочку L = К — К этого конуса и, приме­

няя первую часть теоремы, найдем функционал ^ Ё

1

*

та

кой, что h (х„) =

q (х0)

и h (х) ]>

q (х) для всех

х

(ЕЕ

К.

Ясно, что распространение h функционала h на все X

яв­

ляется искомым

функционалом.

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Если

х0 ф r i К,

то множество (Uq)x°

может

быть и пустым. Примером

может служить функционал

q (х) —

= У^а;1 !2 ,

определенный на

конусе

в

пространстве

Л 2 .

Легко

проверить,

что q не

имеет

опорного ни в

одной граничной точке

конуса Д£| отличной от нуля.

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

 

41

6. Функционалы, определенные на всем пространстве.

Рассмотрим особо случай, когда К

= X.

В этом случае

*)

А'* — 0; кроме

того,

условие

inf

h (х) >

— оо

оз-

 

 

 

/1 е и

 

 

 

иачает, что множество

U ограничено (ибо на этом множе­

стве ограничен

любой

функционал

х Е Е (X*)'*

— X).

Таким образом, как следует непосредственно из опре­ деления, множество U является Х-опорным тогда и только тогда, когда оно выпукло и компактно. Заметим, что суперлииейиый функционал q, определенный на всем про­ странстве, непрерывен и имеет опорный в каждой точке

х ЕЕ X.

Последнее, в частности, означает, что для любого

х ЕЕ X

инфимум в q (х)

= inf h (х) реализуется, т. е.

 

q(x) =

леи,

 

m'mh(x).

 

 

леи,

7. Сублинейные функционалы. В дальнейшем нам иног­ да будет удобно рассматривать вместо суперлинейных сублинейные функционалы. Имея это в виду, введем для сублинейных функционалов аналоги некоторых определе­ ний и обозначений, приведенных выше.

Линейный функционал h назовем опорным к сублиней­ ному функционалу р, определенному на конусе К, если для х ЕЕ К

 

Ь (х) <

Р

(х)-

 

Будем говорить, что h опорен

к р

в точке х0, если

h опо-

рен к р и h (х0 ) =

р (х 0 ) .

 

р (соответственно,

 

Множество всех

опорных

к

опор­

ных к р в точке х) обозначим, так же как и для суперли­ нейных функционалов, символом Uv (соответственно, (Е/р)*); это не приведет к недоразумению, поскольку из контекста всегда будет ясно, о каком функционале идет речь.

Совокупность всех сублинейных функционалов, опре­ деленных наА", обозначим через Р (К). Приведем аналог теоремы Фенхеля для сублинейных функционалов.

*) Отметим здесь несогласованность общепринятых обозначений: символ X* обозначает п пространство, сопряженное к X, и конус, сопряженный к X (в случае, когда X рассматривается как конус).

42

 

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . I

 

Т е о р е м а

2 . 1 ' . Если

р ЕЕ Р (К), то множество

Up

непусто; при

этом

для

любого

х ЕЕ

К

 

 

 

 

 

 

 

 

р(х)

=

sup h (х).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

heup

 

 

 

 

 

 

Непустое подмножество U пространства X*

назовем

Ж-опорным,

если оно выпукло,

замкнуто, — /£*-устойч-и

во

и,

кроме

того,

sup h(x)<^oo.

Совокупность

всех

^-опорных

множеств обозначим через ПР (К).

Для

U

ЕЕ

ЕЕ

ПР (К)

положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц> (U)

-

Ра,

 

 

(2.8')

где ри

(х)

= sup h

(х).

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2.2'. Отображение

г|), определенное фор­

мулой (2.8'), осуществляет взаимно однозначное соответст­ вие между множествами Y1P (К) и Р (К).

Заметим еще, что сублинейный функционал, опреде­ ленный на всем пространстве, непрерывен и имеет опор­ ный в каждой точке.

8. Монотонные сублинейные функционалы. Пусть в пространстве X выделен выступающий воспроизводящий конус К. Будем считать, что пространство X упорядочено с помощью конуса К, а пространство X* с помощью ко­ нуса К*.

Пусть р —сублинейный функционал, определенный на

конусе К. Символом Up обозначим множество всех поло­ жительных опорных к р функционалов; иными словами,

и;= иРг\ к*.

Нетрудно проверить, что Up непусто тогда и только тогда, когда р принимает на К неотрицательные значения.

В самом деле, если р (х)

> 0 для всех х ЕЕ

К, то О ЕЕ

Upn,

стало

быть,

О ЕЕ

Up,

т. е.

Up =j= ф;

 

наоборот,

если

/ЕЕ Up,

то / (х) > 0

для х ЕЕ

К

и, кроме того, р (х) >

/ (х)

(х ЕЕ

К),

откуда и

следует,

что р

(х)

>

0.

 

Теорема

2 . 1 ' утверждает,

что

р

(х)

=

sup h (х).

Нас

сейчас интересует, в каком случае можно гарантировать, что для х ЕЕ К

р(х) = sup h{x)

(2.14)

he и*

Смотрите также файлы