Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

М А Г И С Т Р А Л И

307

рывная функция, sup и (с) = оо,

р, — положительное

число. Эту модель обозначаем в дальнейшем через (Q, и). Вопрос о вычислении <7-оптимальных траекторий, вы­ ходящих из произвольного состояния, даже для весьма простых моделей, является трудным и обнадеживающих результатов здесь почти нет. Что же касается вычисления стационарных [7-оптимальных траекторий модели (Q, и), то здесь все достаточно просто, поскольку эти траектории находятся из решения специальным образом построенных

задач

выпуклого

программирования.

 

2.

Магистрали

для случая u. = 1. Сформулируем упо­

мянутую задачу выпуклого

программирования.

З а д а ч а

21 . 1 . Найти

max и (с)

при условиях:

 

у

— с = х, О <

с < у,

(x,y)ESQ..

Наложим дополнительное ограничение на множество Q, которое предполагается выполненным на протяжении все­ го параграфа. Оно заключается в следующем:

Множество С — {с ЕЕ В.+1 с = у — х, (х,

у) ЕЕ &} не­

пусто, компактно и телесно. (Компактность

С можно га­

рантировать, например, в том случае, когда Q ограни­ чено.)

Если это ограничение выполнено, то решение задачи 21.1 по теореме Вейерштрасса существует. Обозначим его через (х, у), с.

Задача 21.1 в стандартной формулировке в терминах пересечения конуса и оси выглядит следующим образом.

З а д а ч а

21 . 1' . Найти

max у

при

условии (Ь, у) ЕЕ Z,

где Z есть замыкание множества

 

 

{z ЕЕ Rn+i\z

= X ( - 1, -х

+ у -

с, у),

О < у < и (с),

(x,y)EEQ,

0 < с < у ,

Х>0},

Ь — ( — 1 , 0, . . ., 0).

Так как Z телесно, то к задаче 21.1 применима теорема Куна — Таккера. Согласно этой теореме, для того чтобы (Ж, у), с было решением задачи, необходимо и достаточно существование функционала я ЕЕ (й™+ 2 )*, удовлетворяю­ щего условиям:

я ( г ) ^ 0

для

всех

 

z

ЕЕ Z,

(21-1)

я (z) = 0,

где

z =

( -

1, 0

0, и (с)), (21.2)

 

 

яп +

2

=

1.

(21.3)

308 М О Д Е Л И Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я [ГЛ . V I

 

Т е о р е м а

21 . 1 . Стационарная траектория

(X,, с,),

где

Ж, = X, с, =

с, является

U-оптималъной

в

модели

(Q,

и), у которой

р, = 1 и и — строго вогнутая

функция.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

С помощью только что сфор­

мулированной теоремы о характеристике решения задачи

21 . 1'

построим характеристическую

последовательность

цен

(pt).

А

именно,

положим pt = р

для всех t, где

р =

(л2 ,

. .

., я п + 1 ) ,

а л 2 , . . ., я 1 1 + 1

— соответствующие

координаты функционала я из теоремы о характеристике.

Тогда

из

соотношений

(21.1) — (21.3) вытекает pt+1

(X) —

— pt

(X)

+ и (с) >

р(+1

(у — с)

— pi (ж) + и (с) для

всех

( i , у) Е

й, 0 < с <

у и всех t.

Это означает, что последо­

вательность (pj) является характеристической для траек­

тории (Ж,, с,). В частности,

выполнено

неравенство

 

 

 

 

 

Г/ (с)

+

Pi (st)

> г, (с)

+

Pt (х,)

 

 

(21.4)

для любого t и любой траектории (xh

с,),

выходящей

из

того же начального состояния, что и

(xt,

с,).

Рассмотрим

какую-нибудь

траекторию

(жм

с,),

х0

=

X,

для

кото­

рой р1+1

(г,+ 1 )

+

и ( с ш ) — р, (X,)

— pt+1

(xt+1)

 

— и

(с,п)

+

+ pt (xt)

>

е >

0 на последовательности

 

(th).

 

 

Для этой траектории (ж,, с,), начиная с некоторого мо­

мента t',

будет иметь место неравенство

 

 

 

 

 

ti (S) +

Pt («/) -

Т/ (с) -

Р, (xt)

>

р, (х,)

 

(t >

Г).

 

Это соотношение

вместе с (21.4) дает неравенство

 

 

 

 

 

Vt

(с)

>

Y, (с )

Д л я

* >

?>

 

 

 

 

 

следовательно, траектория (хи с,) не может быть [/-опти­ мальной.

Поэтому рассмотрим теперь траекторию (xt, с,), х0 = х, для которой выполнено соотношение

Hm (pUl (Xt+1 — хЫ1) + и ( с ( + 1 ) — и (с,+ 1 ) +

(ж, — Xt)) = 0.

'-"»

(21.5)

В силу строгой вогнутости функции и из этого соотноше­ ния вытекает с, -»- с при £ —> оо и, следовательно, ж( ->- г.

Сопоставляя этот факт с соотношением (21.4) для траек­ тории (ж,, ct), получаем, что (xt, ct) есть [/-оптимальная траектория, что и требовалось доказать.

 

М А Г И С Т Р А Л И

309

З а м е ч а н и е к т е о р е м е

21.1. Для (/-оптимальности

траектории (xtl ct)

существенно,

чтобы из соотношения

(21.5) сле­

довала сходимость

(ж,, с,) —* (£",

с).

Эту сходимость можно гаранти­

ровать пе только при условии, что и строго вогнута, но,

например,

при условии, что множество Я строго выпукло.

 

При отсутствии же строгой выпуклости или, точнее, при суще­ ствовании нескольких траекторий, соответствующих характерисгическим ценам (р{), стационарная траектория (г, с) может не быть ^/-оптимальной. В подтверждение этого приведем пример.

П р и м е р . Рассмотрим модель (Q, и), где множество Й имеет следующий вид:

 

О = {(*. У) <= К X Л2 . | у1 < х2,

у2

<

2х\

 

х1

+ х2

< 2},

а функция u определена

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

(с ) = (1 + е) с1

+

с2

(где

0 <

е <

V 2 ) .

 

 

 

Для

формулировки

задачи 21.1 надо

описать

множество

С

= {с 65 R \ | с = I/ — х,

(х,

у) £5 й } .

 

Пусть

х 65 Р ^ й ,

т. е.

х1

+

я2 <

2 и (/ 65 а (х),

где а — отображение,

график

которого

совпадает с Й. Положим с = у — х. Тогда с1 <^ х2

— я1 , с2 <

2хг —

—

х2.

Если

вектор х

таков,

что хотя

бы для одного

у £5 а (х)

элемент с =

у — х входит в множество С, то i

удовлетворяет си­

стеме

неравенств

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 — х1 > 0, 2т1 — х2 > 0, х1 + х2 < 2,

 

 

решением которой является треугольник

Т с вершинами в точках

(О, 0), (1, 1) (2/3,4/3). Наоборот, для любого хЕ1Т

найдется у £5 а(х),

при

котором с = у — х ^ 0. Отсюда

следует,

что множество С

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

=

{ « E ^ | e

4 i

!

- х1, с2

<

2х^ -

л:2,

х £= Г} .

 

 

Задача

21.1 заключается

в максимизации

линейной функции

и

(с) = (1 +

е) с1 + с2 на множестве

С. Используя вид множест­

ва С, легко проверить, что элемент с является решением этой задачи в том и только том случае, когда с = у — х, где х ЕЕ Т, причем на

элементе Z достигает

максимума на Т линейный функционал / (х)

=

= (1 + Е)(Х2 — х1) +

(2ж2 — i 1 ) , у = (.г2, 27j). Учитывая, что е

<

<1 /2 , нетрудно показать, что / достигает максимума на У в единст­

венной точке (1, 1). Итак, х = (1, 1), у = (1, 2), с = (0, 1).

Таким образом, стационарная траектория, полученная из решения задачи 21.1, имеет вид х = (1, 1), с = (0, 1) и порождает последовательность (yt (с)) = (t).

Рассмотрим траекторию (xt, с<) данной модели, выходящую из того же самого начального состояния, что и (2, с), т. е. х0 = г, где

(*f)?Lo = К1-

(°. 2)> (2- °)- (°'2 ). (2« °)« • • О,

(ci)SLi = ((1,

0), (0, 0),

(0,

2),

(0,

0), (0, 2), . . .).

Следовательно, Y f (с) =

1 + е +

t —

1

 

 

г — 1

 

 

• 2,

где

— 2 — — целая

;Ц0 М О Д Е Л И Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я [ГЛ . V I

часть числа — ^ — • Таким образом, для нечетных t имеем yt (с) =

=t + е, т. е. yt (с) — 7( (с) = е, и, стало быть, стационарная трае­

ктория (.?, с) не является

{/-оптимальной.

С другой стороны, траектория (xt,

ct) также ие {/-оптимальна,

поскольку yt (^) > yt (с ) П Р П

четных t.

Нетрудно убедиться в том,

что не существует' других траекторий данной модели, которые ма­ жорируют рассмотренные траектории (я;, ct) и (.?, с). Следовательно,

вданном примере [/-оптимальных траекторий вообще не существует.

3.Магпстрали для случая /г ^> 1. Начнем с формули­ ровки задачи выпуклого программирования, решение ко­ торой при подходящим образом выбранном векторе огра­ ничений позволит сконструировать искомую магистраль. Основная проблема здесь состоит в том, чтобы показать, что такой вектор ограничений найдется. Решение этой проблемы осуществляется с помощью привлечения теоре­ мы Какутанп о неподвижной точке.

З а д а ч а

 

21.2. Найти шах у при условии (Ь, у)

ЕЕ Z,

где Z есть замыкание множества

 

 

 

 

 

\z ЕЕ Л™« | z =

К ( -

i,v-=S

- я,Т )

, (х,

,

 

 

 

 

 

0 < T < i i ( c ) , 0 < c < y , Я > о } ,

 

 

Эта

задача

эквивалентна

следующей.

 

 

 

 

 

З а д а ч а

 

21.2'. Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шах и (с),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сес.

 

 

 

 

 

где

Cz =

{с

ЕЕ Л+]с

= у — iix +

(ц

— 1) z,

(х, у)

Ez £2,

0 < с < г / } .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В дальнейшем предполагаем, что вектор z принадлежит

множеству

 

X

=

{х

ЕЕ R+ \ {х, у)

ЕЕ й, у — £ > • 0 } .

Если

z ЕЕ -X", то, как

нетрудно

проверить, задача 21.2', а стало

быть, и задача 21.2 имеют решение.

 

 

 

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%0

=

sup {К >

О1 Яд: <

у,

(я, у)

ЕЕ

й } .

 

Поскольку,

по

предположению j

существует

(х,

ЕЕ й

тйкой, что у

^>

х, то

%0^>

ii

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы