Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

ности U = (и,)

с тем, чтобы

у (с) принимала конечные

значения на С

(х0)

и была полунепрерывной сверху.

Например, важным для экономических приложений и

широко

распространенным классом последовательностей

U

является следующий.

Задана функция полезности и, не зависящая от време­

ни,

и

последовательность

неотрицательных

чисел

X = (Я,)£10, где

Xt

имеет смысл дисконтирующего

множи­

времени. Тогда последовательность

U = (и()

определяется

так: U[ = Xtu

(t = 0, 1, 2, ...).

Т е о р е м а

2 0 . 1 . Пусть

точка х0ЕЕ^гг

Q0

обладает

тем свойством, что

sup sup

Цу\\ =

Я<Сс^.

(20.4)

i !уео,0(д-0)

Если

последовательность

U = (и.)

такова,

что

ut = Я,и

со

и

Х( <i оо,

то U-оптималъная

траектория,

исходящая

t=o

из точки х0,

существует.

с = (с,) ЕЕ С (х0),

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

то,

как

следует

из

(20.4), || с, ||< R < оо (t = 1, 2, ...).

Так

ве

{х ЕЕ -ff+lll х ||

R},

и, стало быть, найдется число

R'

такое,

что

и (с,) ^ R'

для

всех с ЕЕ С (х0).

Из условия

оо

2

Xt

< оо теперь

следует,

что

у (с) < оо для всех

(=0

с ЕЕ С

(х0).

Покажем, что функция у непрерывна на С

(х0).

Пусть

сС'> ЕЕ С

(х0)

(k = 1, 2, ...)

и

с « «

-н- с. Выберем

число

е ^> 0 и найдем

натуральное

Т,

при

котором

вы-

оо

полняется

соотношение 2

< Е - ^ 3

непрерывности

<=т-н

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О Б Щ Е Й М О Д Е Л И Д И Н А М И К И

299

<

2

h\u(c(tk))-u(c,)\^s-2R'.

i=T+l

Таким образом, при к^>

К

\y(cM)-y(c)\<E{2R'

+ l),

C ( F C ) = ( 4 . T

1 , 0 , 0 , . . , о , . . . ) -

>

ч,

'

к

Очевидно,

что с № )

0

при

к —» оо и у {с^Ь — 1, тогда как

Y (0) = 0.

дели типа Неймана — Гейла.

(5ft, U)

Построим

с

помощью

модели

обобщенную

технологическую модель (см. п. 5 § 11)

Ши =

{ { 0 , 1 , . . . } ,

(А',)"„

,

( Я , ) " , ,

( Й Г ) ~ 0 } ,

(20.5)

где X, = Rn

X

R1,

Kt

=

R+

X

R\(t

=

0, 1, ...), а

мно­

жество й " определяется следующим образом:

Q? = { г £ {К

х

Rl)

х

(Rn+

xR\)\z

=

((х,

г),

(у- с,

г'));

( i j ) e S „

0 < c < y ,

0 < T ' < T

+

"«+I(C).

Т > 0 } .

тим, наконец, что Р г 2 й " f| i n t (R+

X Rl)

Ф ф.

Точечно-множественное отображение, графиком кото­

рого является й", обозначим через а}\

Обычным

образом

определим отображения а\\ t (т

0»

Если (ж,) — траектория модели (5R, С/) и (ct )

— соот­

непосредственно

из

определений,

последовательность

% =

(х,,

1 + у, (с))

является

траекторией

обобщенной

технологической

модели

ЗКу;

с

другой

стороны,

если

X =

(xt,

yt) — траектория

модели

то найдется такая

последовательность

с =

(сг ),

что

(xt, ct)

— траектория

модели (3R, U)

и у, — yQ ^

yt

(с).

Поскольку

отображения

а(

монотонны

(возрастают),

то, как нетрудно

проверить, отображения о" также моно­

тонны. Кроме того, множество а" (х)

нормально при всех

х ЕЕ Ргц й". Это

позволяет,

используя предложение 11.5,

считать,

что

отображения

а"

заданы на

всем конусе

i?+

X R\

(И нормальны),

и применять к модели ЗЛ^ (точ­

нее к моделям

(ЗЛс!)т,

У =

1, 2, ...)

все результаты,

уста-

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О Б Щ Е Й М О Д Е Л И Д И Н А М И К И

301

изводственные

отображения

которых

заданы

на

конусе

(и нормальны).

П р е д л о ж е н и е

20.2.

Пусть

траектория

((^/1

модели

(SR, U) исходит из внутренней точки ко­

нуса Я+ X Д\ и U-оптимальна.

Тогда

соответствующая

ей

траектория

X =

((Х„

1 + у, (с)))

модели §В?у

является

эффективной *)

(оптимальной

в смысле гл. I I I )

траектори­

ей этой модели.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что траекто­

рия X не эффективна. Тогда

найдется натуральное

число

т такое, что || (Хх,

1 +

ух (с)) ||n <

1, где

Q

= а" 0

(я0, 1).

Последнее

означает, что

существует

элемент

(h,

X)

0,

•при

котором

(Хх

+

h,

1 + ух

(с)

+

X) €= а%,0

((Х0,

1)).

Пусть

х4 =

((x'h

X't))i=0

— траектория

модели

?К<у,

исхо­

дящая из точки

(Х0,

1) и приходящая в момент т в точку

•(а:т,

X^) =

(xx-r-h,

1+7т

(с ) + Я ) .

Так

как

отображение

л "

монотонно

возрастает,

то

( 2 X +

1 ,

1 +

у х

+ 1 ( С)

+

X) 6Е

ЕЕ а " (Жт +

/г, 1 + у х (с) +

А ) ,

И , стало

быть,

последова­

тельность

%' =

((хь

v,)),

где

(я

v ) =

(

(*'•

*"')•

* =

0 , 1 ,

. . . , т,

V

"

'

1

(Xt,

l + r t ( c )

+

X), t

=

x

+

l,

т

+

2 , . . . ,

является

траекторией.

Для последовательности

найдется траектория потреб­

ления

(с,)

такая, что (xt,

с,) — траектория

модели

(SK, U)

и

7< (с) +

^ ^ Vi (с). Это, однако,

противоречит

{/-опти­

мальности траектории (Хь

с,). Предложение

доказано.

Введем теперь следующее определение. Будем говорить,

•что траектория

(Хи

с,)

модели (СО?, U)

допускает

характе­

ристику,

если

найдется

последовательность

(pt),

где

Pt

ЕЕ (R+)

*,

такая,

что

А+1

—

(*/) +

"t+i (oi+i)

>

>Pt+i(U

—

О — Pi ( « )

+ Mt+i (с)

(20.6)