Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

302 М О Д Е Л И Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я [ Г Л . V I

(здесь t = 0, 1, 2, . . ., (х,

у) 65 й<, 0 ^

с < ! у). При этом

последовательность (pt)

называется

характеристикой

траектории (Ж,, ct).

Заметим, что функционалы (pt), фигурирующие в опре­ делении характеристики, могут, вообще говоря, равняться

нулю. Если pi+1

= 0 , то, как следует из

(20.6),

 

Pt

(я — Я<) >

" т

(с) — u m

(сщ)

при всех с е = nat

(х).

Полагая х

— ж,, получим, что в рас­

сматриваемом

случае

 

 

 

 

 

 

 

 

(c(+i) =

max_

u ( + 1

(у).

 

Имеет место

20.2. Пусть

 

 

 

U-оптимальная

Т е о р е м а

((Ж,, с,))

—

траектория

модели

(5ft,

U),

 

исходящая

из внутренней

точки ж0 конуса

R+.

Тогда

выполняется по крайней мере

одно из следующих трех условий:

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

траектория

(Ж,,

с,)

допускает

характеристику,

2) последовательность (Ж() является эффективной (опти­

мальной)

траекторией

обобщенной

технологической

мо­

дели 3R,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

найдется

подпоследовательность

(Ж,А.)

такая,

что

stk

является

граничной

сверху

 

точкой

множества

а'к ,о

(Ргх

Й 0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

предложения

20.2

последовательность

% =

((2,, 1 +

yt

(с)))

является траек­

торией модели

5Ry. Предположим сначала,

что найдется

номер

Т

 

такой,

что

 

при

всех

 

t >

Т

точка

(Ж,,

1 +

yt (с)) не является

граничной

сверху точкой

множе­

ства

<Z(%

(PrjQo).

В этом

случае,

согласно

теореме 11.4,

% допускает характеристику,

как траектория модели

ffiu,

т. е. найдется последовательность

(pt,

и.,) 6= (Л+

X i?+) *

такая,

что

при

всех

t =

0, 1, 2, ...

 

 

 

 

 

 

(Pt, V-t) ((*, Т)) -

(Pi,

V,)

((«о

1 +

Гi

(с)))

>

 

 

 

 

 

 

 

>

(Pi+i,

l-h+i)

((У, Г')) -

(Pui,

 

 

 

 

1 +

Г т

(с)))

((*,r), (у,г'))ейГ

§ 20] О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О Б Щ Е Й М О Д Е Л И Д И Н А М И К И 303

Используя

определение

множества

й",

перепишем

эти

неравенства

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

Pt (х) +

И/Г -

Pt

— Hi (1 +

"it

(с))

>

 

 

 

>

Л+i (У — с) -f- \it+1

(т +

(с» — Рм

—

 

- N ( i T T i « ( 5 ) ) ( ( ^ ) e Q | ,

0 < С < г / ,

Т > 0 ) ,

(20.7)

 

 

 

Р«(**) +

И«(1 +

Т « ( г ) ) > 0 .

 

(20.8)

Положив в соотношении

(20.7) х — у =

с =

0, получим,

что при всех положительных 7 имеет место неравенство

(14 —

Т >

Pi (3ST) + М 1

+

Т* (с)) — Pt+i (2i+i) —

 

 

 

 

 

 

- J*w (1 + T i + i (c)),

(20.9)

откуда следует неравенство

u., >

ц,+ 1 . С другой

стороны,

положив в (20.7) х

= Ж( , у =

Ж,+ 1

+

с ( + 1 , 7

= у, (с), полу­

чим,

что р.;

ц< + 1 .

Итак,

(д.! — и.2

= . . . =

ц, = . . . = ц.

Учитывая эти соотношения, перепишем (20.7) в виде

Pt+i (^i-ri) — Pt

(St) +

№ + 1 (ct+i) >

 

(г/ — с) —

 

 

 

- р , ( а 0 +

11"« + 1 (<0

 

((*,y)e=Q,).

(20.10)

Если

р, >• 0,

то, нормируя,

можно

считать, что

u. = 1.

В этом случае формула (20.10) показывает, что траектория

( $ , , с,) допускает характеристику. Если

же и. =

0, то из

(20.10) при с = 0 следует, что

 

 

 

Pt

(х) — Pt (*/) > Pt (У)

— Рт №+i)

((*. 2/) е

Й,).

Кроме

того, в этом случае, в силу (20.8), pt

(xt)=j= 0 при

всех t.

Это означает,

что

последовательность

(Ж,) допус­

кает характеристику,

как

траектория модели 9R. Как бы­

ло показано в п. 5 § 11, отсюда следует эффективность этой траектории.

Таким образом, в рассматриваемой ситуации (сущест­ вует такое Т, что при t >• Т точка (Ж( , 1 + 7t (с)) не яв­ ляется граничной сверху точкой множества а"0 (Pri &о)) теорема доказана. В противном случае найдется подпосле­

довательность (th) такая, что точка (Xtjc,

1+Yijt

входит в

<Э+ (аТк,0

(Ргх ОД). В этом случае Ж,k

является

граничной

сверху

точкой множества а1кЛ (PrjQo).

 

Теорема доказана.

Приведем теперь несколько замечаний к теореме 20.2.

304

М О Д Е Л И Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я [ГЛ . V I

З а м е ч а н и е 1. Случаи 2) н 3), фигурирующие в условии теоремы 20.2, неинтересны. Они могут быть реализованы лишь тог­ да, когда потребление происходит за счет продуктов, не вносящих вклад в производство, появляющихся как побочный продукт в про­ цессе производства. Нетрудно привести простые достаточные ус­ ловия на модель, гарантирующие невозможность существования таких траекторий. Мы, однако, на этом не останавливаемся. В даль­ нейшем всегда будем предполагать (иногда не оговаривая этого особо), что рассматриваемые {/-оптимальные траектории не порож­ даются эффективными траекториями модели т. е. они допу­ скают характеристику.

З а м е ч а н и е 2. При весьма жестких дополнительных пред­ положениях можно доказать (см. Гейл [4]), что для {/-оптимальной траектории найдется система цен (pt) такая, что

 

Pt+i

 

 

+

— Pi (-f/)

>

Pt+1

(У) — Pt (*)

 

 

 

 

 

 

 

 

((*, У) e

Qj),

 

 

 

 

 

 

u

t

—

 

Pt Ы

>

и i

(c) — p

t

(c)

 

(c >

0).

 

 

Из паппсанных неравенств вытекает, в частности, что (pt)

является

характеристикой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

 

3. Наличие характеристики является, конеч­

но, только необходимым

для

{/-оптимальности

траектории, но

недостаточным. Приведем

соответствующий пример.

 

 

П р и м е р 4. Рассмотрим

однопродуктовую

модель,

описан­

ную в примере

 

1 данного

параграфа. А именно,

 

 

 

 

«( = {(*,

У)

< = i ? i X R l + \ x > 0 ,

0 < > / < / ( * ) }

 

(/ — неотрицательная, строго вогнутая дифференцируемая

функция

/ (0) = 0, /' (0) > 1). Пусть

к, (с) =

р.*"' с, где число и. удовлетво­

ряет условиям: 0 <

р, < 1, решение х

уравнения /' (х) = ц. таково,

что / (2) — х =

 

с >

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим траекторию

((л?,, с{))

этой модели такую, что г, =

= х, с, =

с. Для этой траектории последовательность

чисел (и.- ')

является

характеристической, т. е. удовлетворяет

условиям (20.6).

Действительно,

 

соотношение

(20.6)

в данном

случае

имеет вид

u - ' x — u . " ( ' " %

- j - [х-'с >

u.-< (/ (х) — с) —

u . " ( ( - 1 ) x

+ u.-'c

для всех

х ^ > 0 и 0 ^ с <

/ (х). Умножив

это неравенство на и.'

и приведя подобные

члены,

получим f

(х)

— ux ^

/ (х) — ц,х для

всех х ^ 0 . Это неравенство

вытекает

из того, что /' (х) = р..

Таким образом,

траектория ((х; , ct))

модели (Щ,

U)

характе­

ризуется

последовательностью

( и - ' ) . Однако

{/-оптимальных тра­

екторий в этой модели не существует,

 

так как здесь имеет место

ситуация,

описанная в примере

2 (поскольку

ц. <

1).

 

 

4. Необходимые и достаточные условия ^-оптималь­ ности. Проблема отыскания необходимых и достаточных условий для [/-оптимальности траекторий в общей модели (SOi, U) остается открытой.

§ 20] О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О Б Щ Е Й М О Д Е Л И Д И Н А М И К И 305

Здесь устанавливаются необходимые и достаточные условия оптимальности при дополнительных, довольно жестких условиях.

Предварительно отметим следующий факт. Рассмотрим задачу нахождения [/-оптимальной траектории на конеч­ ном временном интервале.

 

 

т

 

Найти

максимум суммы

щ (с,) при условиях:

{xt, xl+1

+ с т ) Ё Й ,

(t =

0 , . . . , Т — 1), х0 = Ж0.

Это задача выпуклого программирования, и потому для нее можно воспользоваться хорошо известными теорема­ ми о необходимых и достаточных условиях экстремума. В данном случае теорема о необходимых и достаточных условиях формулируется так:

Для того чтобы траектория (xt, с,)( =0 была оптималь­ ной, необходимо и достаточно, чтобы нашлась последо-

 

 

 

 

Т

 

удовлетворяющая условиям:

 

вателъностъ (pi)(=0,

 

1) P

t

> 0 (t

=

0,...,

Т),

 

 

 

 

2)

PHI

( « m )

— pt

(X,) +

u n i ( c m )

>

pH1

(у — c) —

— Pt (x)

+

ut+1

(с) для всех ( j , г/) E

й ( ,

0 ^

с *£Z y,

 

3)

рт

(ЖТ) = 0.

 

 

 

 

 

 

Эти

условия

вытекают

из теоремы

11.3. Из

приве­

денной

формулировки видно, что

условия

1), 2)

такие

же, как

в

теореме

20.2,

а условие 3) является

новым.

Спрашивается, нельзя ли поэтому перенести данную тео­ рему на случай бесконечных траекторий. Оказывается,

что это возможно только

при ряде дополнительных ус­

ловий.

 

20.3. Пусть

для траектории

(X,, с,) моде­

Т е о р е м а

ли

(ЗК, U)

существует характеристика

(Pt)tLo

такая,

что

l i m pt

(Xt)

= 0. Тогда

траектория

(Х{,

ct)

является

U-оптимальной.

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из соотношения

(20.6) не­

посредственно

вытекает соотношение

 

 

 

 

Рм

(«<+i) — Ро (Яо) + T(+i (5) >

pt+i {xt+i) — Ро Ы

+

T ( + i (с)

для любой траектории (xt, ct), исходящей из той же точкп Х0. А из этого соотношения в свою очередь следует, что

Pt (Sf) + Tt (с) > Pt (ж() + Ti (с)

(20.11)

11 В. Л . Макаров, А. М. Рубинов

306

М О Д Е Л И Д И Н А М И К И С

У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я

[ Г Л .

V I

для всех t и любой траектории (xt, с,), у

которой х0

=

Ж0.

По

условию

теоремы pt (х,)

0 при

t-*-

оо, кроме

того,

Pt

(хд > 0 для всех t, поскольку /)( >

0 и г, > 0, Учиты­

вая эти факты и переходя к пределу в неравенстве

(20.11),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l i m (Г, ( с ) - т , (с)) >

0,

 

 

 

а это и означает, что траектория (xt, с ( )

является

(У-опти-

мальной.

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

Условия теоремы 20.3 являются только достаточными

для [/-оптимальности, но далеко не необходимыми в общем

случае. Приведем соответствующий

пример.

 

 

 

П р и м е р

5. Рассмотрим снова

однопродуктовую модель

из

примера

1,

т. е.

Q, =

{(х,

у) с= R\

X

Л\

| 0 <

у <

/ (х),

х >

0 } .

/ — строго

вогнутая дифференцируемая функция. Пусть

U —

(щ)

такова, что щ (с) =

с для всех t.

Нетрудно проверить

(/-оптималь­

ность траектории ((£;,

где St

=

s,

ct

=

с; 2 является решением

уравнения*) /

(я) =

1, с =

/ (г) —

х.

При

этом последовательность

(Р()(=о' Г Д е

Pi

=

1'

является характеристической для

траектории

(х(, ё().

Однако

pt

(xt)

= г

для

 

всех

t.

Следовательно,

данный

пример

показывает,

что

условие

l i m pt (St)

= 0

совместно

с

(20.6) является лишь достаточным для

(7-оптимальности, но не не­

обходимым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§21. М А Г И С Т Р А Л И

1. Введение. В § 6 изучались состояния неймановско­ го равновесия **) для суперлинейного отображения а.

Состояние равновесия

((£, у), р, а), как уже отмечалось

в гл. I V , порождает

(в случае нормального отображения

а) эффективную траекторию (a's)(°L0. Эта траектория яв­ ляется стационарной в том смысле, что состояние в последутощий момент отличается от состояния в предыдущий момент только масштабом, но не соотношениями между компонентами. В настоящем параграфе выясняется вопрос

осуществовании и нахождении стационарных [/-опти­

мальных траекторий

для

модели (3R, U), у которой

Q, = Q для всех ( i u

( =

u/p,', где^и. — вогнутая непре-

*)

Предполагается, что с >

0.

**)

Не путать с состоянием

равновесия в смысле Нэша игры л

лиц и модели экономического равновесия, определенного в §§ 17, 18.

Смотрите также файлы