Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

44

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . t

(2.15), имеем

со = х >

р (г/) >

р (х0 )

>• со, что невозмож­

но. Таким образом, Zp

f]

Z =

ф.

Применяя теорему отделимости, найдем ненулевой

функционал (h,

v) из

(X

X R1)* такой, что

h (х)

+

vu. <

0

(x^K,\i>p

(.г)),

(2.16)

7* (ж)

+

/?- (ж0)

+

vco >

0

(ж еЕ К).

(2.17)

Из

неравенства

(2.17) следует,

что /г ограничен снизу на

цательные значения;

таким образом, h GEE К*.

Покажем теперь, что v =f= 0. Действительно, в против­

ном случае получим, используя (2.10), h (х) < 0 (

i £

К).

Так как h 6ЕЕ К*,

то из последнего неравенства вытека­

ет, что h обращается в нуль па К, и, поскольку К

— вос­

производящий

конус,

h обращается в нуль на

X.

По­

следнее, однако, невозможно, так как (h, v) =j= 0.

Нетруд­

но проверить,

что

неравенство v ^> 0 не реализуется. В

чим h (х0) >

р' (х0).

Последнее

соотношение противоречит определению

назовем

нормальным

(в

смысле

К),

если

(Q

-

К)

f] К

=

Q.

На рис. 8 приведен пример

нормального

множества

(X = R2,

К =

Q заштриховано, граница

множества

Q — К указана

пунктиром).

Важным примером нормального множества является

конусный отрезок <0, х > =

{у е

X

| 0 < у <

а;}. Так как

С У П Е Р Л Й Н Ё Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

45

К — выступающий

конус,

то

отрезок <0, ж> компактен

при

любом

х ЕЕ К.

Ясно,

что

« О , х > - К) f] К = < 0 , х\

откуда и следует нормальность множества <0, х}.

Имеет место

2 . 1 . Выпуклое компактное под­

П р е д л о ж е н и е

множество Й конуса К нормально тогда и только тогда,

когда с каждой

своей

точкой

х оно содержит конусный от­

резок

<0, ж>.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1)

Пусть

Q

нормально

и

х ЕЕ Й. Тогда х — К d

Й — К

и

потому

<0, х)=

(х

-

К)

п

к

а

С ( й

-

К)

П

К

=

й .

2) Пусть Q с каждой своей

точкой

х содержит

отрезок

<0, ж>. Для каждого элемента

z

из

множества

(Й — К)

f]

что z ЕЕ (у — К)

f]

К

=

П

i f

найдется г/ ЕЕ Й

такой,

= <0,т/>.Таккак<0, г/>С1Й. тог ЕЕ Й, т.е. (Й — К)

f)

К

а

CZ й. Обратное включение очевидно.

Предложение

доказано.

Следующее предложение описывает важное свойство

нормальных множеств.

2.2. Пусть й — нормальное под­

П р е д л о ж е н и е

множество

конуса К

и элемент х этого конуса не принад­

лежит

Й.

Тогда

найдется

положительный

функционал

f такой, что

/(a:)>sup/(y).

yen

(Q — К) (~|

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По условию Й =

Г) К.

Так как

х ЕЕ К

и х ф Й, то ж йе Й — i f . Из

ком­

пактности й следует, что множество й — К

замкнуто, и

потому

найдется линейный

функционал / такой, что

/ ( * ) > s u p

f(y).

(2.18)

yen—к

46

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . 1

полупространств

вида

{ж Е

X | / (х)

с},

которые со­

держат Q и определяются функционалами

/ из

К*.

П р е д л о ж е н и е

2.3. Пусть

Q — выпуклый ком

пакт

в К.

Тогда

множество

(Q — К)

П К

нормально.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отметим прежде всего,

что

множество (Q — К)

[)

К выпукло и замкнуто. Покажем,

что это множество ограничено. В самом деле, так как Q

ограничено и К

телесен, то найдется точка х ЕЕ К

такая,

что для любого

у ЕЕ Q

выполняется у •< х. Но если z ЕЕ

ЕЕ (Q — К)

П К, то z

у при некотором у ЕЕ Q и потому

z

х. Отсюда

вытекает,

что множество

(Q — К)

f\ К

ограничено. Мы показали, таким образом,

что это мно­

жество является

выпуклым

компактом.

Пусть теперь ж ЕЕ (й

— К)

f] К.

Тогда для некоторого

элемента z ЕЕ й выполняется неравенство х <г z. Если те­

перь

элемент у конуса

К

таков, что

у <^ х,

то у <^ z и,

стало

быть, у ЕЕ (Q — К)

(~| К. Таким

образом,

множе

ство (Q — К)

Г) К

с каждой своей точкой х содержит ко­

нусный отрезок

<0, ж>. Для

завершения

доказательства

осталось сослаться

на

предложение 2 . 1 .

П р е д л о ж е н и е

2.4. Пусть

Q — выпуклый ком­

пакт в К. Тогда пересечение всех нормальных множеств,

со­

держащих

Q,

совпадает

с (Q — К)

Г\ К.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу предложения 2,3 до­

статочно проверить, что каждое нормальное множество,

содержащее Й, содержит я (Q — К)

f] К.

Пусть Q нор­

мально, й э Й . Тогда Q

=

(Q

— K)f]K^>(Q

—

K)f]K.

Предложение

доказано.

Пересечение всех нормальных множеств, содержащих

выпуклый

компакт

Q, назовем нормальной

оболочкой Q

С У Н Е Р Л И Н Ё Й И Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

47

(в смысле К) и обозначим символом nQ (на рис.

9 nQ за­

nQ =

(Q — К)

п л:.

Следующее

предложение

опи­

сывает важное свойство нормаль­

ной

оболочки.

2.5. Если

П р е д л о ж е н и е

Q — выпуклый компакт в К и /ЕЕ

ЕЕ/Г*, mo max / (х) =

max / (ж).

Д о к а з а т е л ь с т в о

выте­

Рис. 9.

кает

из следующей

цепочки со-

отношепий:

max / (х) > max / (х)

=

max / (х) >

max

/ (ж) - max / (х).

хепа

ж е п

к е п — к

же(П—if) Г) к

жепп

П р е д*л о ж е н и е 2.6. Пусть

подмножество £ ко­

нуса К*

таково, что для любого х ЕЕ К

sup h (х)

<^ ос.

Тогда \

ограничено.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предполагая, что предложе­

ние неверно, найдем элемент х ЕЕ X

такой, что sup h (х) =

he?

ют

элементы

xt

(i =

1, 2)

мз К такие, что х = ху — х2;

так

как \ d

К*,

то

для

h ЕЕ £

h

(х)

— h (хг)

— h (х2 ) < h (•%)