Файл: Расчетнографическая работа по дисциплине механика.docx

Задача 3.

Определение траектории, скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

3.1. Задание на расчет

По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени (с) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 20.

Таблица 20

Уравнения движения		, с
.

Решение:

Параметрические уравнения движения точки имеют вид:

,

(3.1)

Уравнение траектории. Для определения уравнения траектории точки исключим время из заданных уравнений движения.

Для определения уравнения траектории, из уравнения находим,



из уравнения находим,



Преобразованные уравнения почленно сложим. Тогда

(3.2)

---

получаем уравнение траектории из уравнения (3.2)

(3.3)

или

(3.4)

Из уравнения (3.4) следует, что траекторией точки является прямая линия. (рис.3.1).

Рис. 3.1. Траектория точки заданная уравнениями (3.1) в параметрической форме и уравнением (3.4) в координатной форме

Координаты точки в начальный момент движения равны:

,

(3.5)

Координаты точки в момент времени равны:

,

(3.6)

Вектор скорости точки

,

(3.7)

Вектор ускорения

,

(3.8)

Здесь орты осей х и у; , , , проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Законы изменения проекций скорости и ускорения точки во времени

---

получаем дифференцированием выражений (3.1):

(3.9)

По найденным проекциям определяется модуль скорости

(3.10)

Значение проекций и модуля скорости при t₁ = 1 c, см/с:

(3.11)

Аналогично найдем ускорение точки:

(3.12)

По найденным проекциям определяется модуль скорости

(3.13)

Значение проекций и модуля ускорения при t₁ = 1 c, см/с²:

(3.14)

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим:

(3.15)

Из уравнения (3.15)

(3.16)

---

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выраже­ния (3.16), определены и даются равенствами (3.11) и (3.14). Подставив в (3.16) эти числа, найдем сразу, что при t₁ =1 с,

(3.17)

Нормальное ускорение точки: . Подставляя сюда найденные числовые значения а, и а_τ получим, что при t₁= 1 c ,

(3.18)

Радиус кривизны траектории:

(3.19)

Подставляя в (3.19) числовые значения vи а_п, найдем, что при t₁ = 1 с

(3.20)

Результаты вычислений для заданного момента времени t₁  1 с приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Координаты, см		Скорость, см/с			Ускорение, см/с2					Радиус кривизны, м
x	y	vх	vу	v	aх	aу	a	aτ	aп	
1,25	-6,75	2,27	2,27	3,20	1,37	1,37	1,94	1,94	0,0

На рис.3.2 показано положение точки

---

М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим и , причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной по траектории. Вектор строим по составляющим и , и затем раскладываем на составляющие и . Совпадение величин и , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения

Рис. 3.2. Положение точки М в заданный момент времени

---