Файл: Вигдорович, В. Н. Совершенствование зонной перекристаллизации.pdf

к о т о р а я

св я зы в а ет

и ск о м о е

зн а ч е н и е к о н ц ен т р а ц и и

в

н а ч а л е о ч е р е д н о г о ( т +

1 )-н ого

у ч а ст к а

п о сл е

( п

+

1 )-н ого

п р о х о ж д е н и я

со зн а ч ен и ем

д л я

п р ед ы д у щ ег о

т - н о г о

у ч а ст к а

т а к ж е

п о сл е

( п

+

1 )-н ого

п р о х о ж д е н и я

и

ср ед н и м с о д е р ж а н и е м

п р и м еси

на

( т +

1)-ном у ч а ст к е

п о с л е

n -о го п р о х о д а .

Е с л и ш аг

h

у к л а д ы в а ет ся

н а

д л и н е р а сп л а в л ен н о й

зо н ы

I н еск о л ь к о

р а з , то

к о н ц ен т р а ц и я

п р и м еси

б у д е т о п р е д е л я т ь с я

сл ед у ю щ и м и

в ы р а ж ен и я м и :

С [? + 1 )

=

k

1

( ■ -

£=1

т — 1 + //ft

+

т

£

с \ п)

(1 1 .1 7 )

i = l + l / h

h k \ г ( п + 1) 1 ^ p i n )

(1 1 .1 8 )

с д а = ( 1 - т )

T

i '-‘ m + l / h t

и з

к о то р ы х п р и

h

=

I н ет р у д н о

п о л у ч и т ь со о т в етств ен н о в ы р а ж ен и я (1 1 .1 5 ) и

(1 1 .1 6 ).

В с е у к а за н н ы е со о т н о ш ен и я п р и зо н н о й п е р е к р и с т а л л и за ц и и ,

к а к п р а в и л о ,

н е

р а сп р о ст р а н я ю т с я

н а

у ч а ст о к п о сл ед н ей

зо н ы ,

где

р а с п р е д е л е н и е

п р и м еси л егк о

у ст а н а в л и в а ет ся

а н а л и т и ч еск и м и

м етодам и

(в с л у ч а е

о б ы ч н ой

зо н н о й п е р е к р и с т а л ­

ц и и ). С п ец и ф и ч еск и й

х а р а к т ер

р а ссм а т р и в а ем о го

р а сч ет н о го

м ето д а о б ъ я с н я е т

в за и м о св я зь

м е ж д у

ег о т о ч н ость ю

и п р о и зв о д и т ел ь н о ст ь ю .

Ш аговы й

х а р а к т ер

м е ­

т о д а п р и в о д и т к

су щ ес т в ен н о м у

в о зр а ст а н и ю

к о л и ч еств а р а сч ет н ы х

о п е р а ц и й

п р и

со к р а щ ен и и

д л и н ы

ш а га . П о эт о м у

о д н о й

и з

п ер в ы х

за д а ч

р а сч ет а я в л я е т с я вы бор

о п ти м а л ь н о го зн а ч ен и я р а сч ет н о го ш а г а ,

к о т о р о е п о зв о л я е т д о с т и г н у т ь н а и м е н ь ­

ш его о б ъ ем а

р а сч етн ы х

о п ер а ц и й

п р и д о ст а т о ч н о й

то ч н о сти

р а зу л ь т а т а .

В к а ч естве

п р и м ер а р а ссм о тр и м

р а сч ет зо н н о й

п е р е к р и с т а л л и за ц и и

п р и

д в у х

р а зн ы х

зн а ч е н и я х

р а сч ет н о го ш а г а ,

п ри ч ем д л я п р о в ер к и

в о с п о л ь зу е м с я

точны м и

зн а ч е н и я м и , к о т о ­

ры е д л я

п ер в о го

п р о х о ж д е н и я

м о ж н о

н ай ти

по

и зв ест н о й

ф о р м у л е

(1 .3 4 ):

^ L = l _ ( l _ * ) e x p ( - j ) .

(1 1 .1 9 )

Д л я

за г р у зк и

с

о т н о ш ен и ем

е е

д л и н ы

к д л и н е

р а сп л а в л ен н о й

зо н ы , равн ы м

16,

ср а в н и м р езу л ь т а т ы

п р и в ел и ч и н е

р а сч ет н о го

ш ага

=

0 ,5 1 и

Л2 =

/

д л я k =

0 ,1 .

П о л у ч е н н ы е

зн а ч ен и я

п р и в ед ен ы

в

т а б л .

1. ч ер ез

и н т ер в а л ы ,

р авн ы е

д л и н е , зо н ы ,

д л я

р а ссм о т р ен н о го с л у ч а я

в п о л н е

у д о в л ет в о р и т ел ь н ы е р езу л ь т а т ы

д о ст и г а ю т ся

д а ж е

п р и м а к си м а л ь н о м ш а ге

h = I,

и у м е н ь ш е н и е

ег о с ц ел ь ю п овы ш ен и я

то ч н о сти

р а сч ет а

н е ц е л е с о о б р а зн о . И н тер есн о

о т м ет и ть , что

п р и у в ел и ч ен и и

д л и н ы

за г р у зк и

в дв о е

п о гр еш н о ст ь

н е у в ел и ч и в а ет ся :

п р и и сти н н ом

зн а ч ен и и

0 ,9 5 9

р а сч ет д а е т 0

,9 6

6

(п р и

h =

I ), х о т я

к о л и ч еств о

р а сч ет н ы х о п е р а ц и й

в о зр о с л о

т а к ж е в

д в а

р а з а .

Н

а

н о ст ь р еа л ь н о г о

р асч ета : д а ж е

ес л и

п р и н я т ь ,

что

п о гр еш н о ст ь

в о зр а с т а е т

п р о п о р ­

ц и о н а л ь н о

к о л и ч ест в у

р асч етн ы х

о п е р а ц и й , то

с у м м а р н а я

п о гр еш н о ст ь

р а сч ет а за

о д н у ты ся ч у

о п ер а ц и й

н е

д о л ж н а

п р евы ш ать

60%

(п р и

h

=

I,

k =

0 ,1 ) .

С л ед у ет

о т м ет и ть ,

что

н ео б х о д и м ы й

в

к о н ц е

к а ж д о г о о ч е р е д н о г о

ц и к л а

п р о ц есс а

(н а п р и м ер ,

в к о н ц е

к а ж д о г о

о ч ер ед н о г о

п р о х о ж д е н и я зон ы )

п е р е х о д

о т

зн а ч ен и й к о н ц ен т р а ц и й

д л я г р а н и ц у ч а ст к о в

к ср ед н и м к о н ц ен т р а ц и я м д л я у ч а ст к о в С

м о ж ет

бы ть п р а к т и ч еск и

о су щ ес т в л ен

с д о ст а т о ч н о й

то ч н о сть ю

с

п о м о щ ь ю

ф о р м у л ы

т р а ­

п ец и й .

К р о м е

т о г о , с л е д у е т

о тм ети ть си ст ем а т и ч еск и й

х а р а к т ер

п о г р е ш н о с т и ,

что

Таблица t

СРАВНЕНИЕ

КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЁСИ ПРИ h С ТОЧНЫМИ

ЗНАЧЕНИЯМИ, ПОЛУЧЕННЫМИ ПО ФОРМУЛЕ (II. 19)

Отношение искомой концен­

Отношение искомой концен­

Расстоя­

трации к исходной

Расстоя­

трации и исходной

VOq

ние от

ние от

начала

точное

по расчету при

начала

точное

по расчету при

загрузки

загрузки

в длинах

значение

величине шага

в длинах

значение

величине шага

зоны х}1

по фор­

зоны х/1

по фор­

муле

h = 0,5/

h = l

муле

h =0,5/

h = l

(11.19)

(11.19)

0

0 ,1 0 0

0 ,1 0 0

0 ,1 0 0

8

0 ,5 9 6

0 ,6 0 3

0 ,6 1 3

1

0 ,1 8 6

0 ,1 8 7

0 ,1 9 0

9

0 ,6 3 4

0 ,6 4 3

0 ,6 5 1

2

0 ,2 6 3

0 ,2 6 8

0 ,2 7 1

10

0 ,6 6 9

0 ,6 7 9

0 ,6 8 6

3

0 ,3 3 3

0 ,3 3 9

0 ,3 4 4

11

0 ,7 0 0

0 ,7 1 1

0 ,7 1 8

4

0 ,3 9 7

0 ,4 0 4

0 ,4 1 0

12

0 ,7 2 9

0 ,7 3 9

0 ,7 4 6

5

0 ,4 5 4

0 ,4 6 3

0 ,4 6 9

13

0 ,7 5 5

0 ,7 6 4

0 ,7 7 1

6

0 ,5 0 6

0 ,5 1 5

0 ,5 2 2

14

0 ,7 7 8

0 ,7 8 7

0 ,7 9 4

7

0 ,5 5 3

0 ,5 6 3

0 ,5 7 0

15

0 ,7 9 9

0 ,8 0 8

0 ,8 1 5

В о м н о г и х к р и ст а л л и за ц и о н н ы х р а зд ел и т ел ь н ы х п р о ц е с с а х п о сл е н ек о т о р о го

н а ч а л ь н о го п ер и о д а у ст а н а в л и в а ет ся ст а ц и о н а р н о е со с т о я н и е ,

н ап р и м ер п р ед е л ь ­

н о е р а с п р е д е л е н и е п р и зо н н о й п е р ек р и ст а л л и за ц и и за г р у зк и к он еч н ой дл и н ы .

П ри

это м п о с л е д у ю щ и е

ц и к л ы п р и п р е ж н е м

р еж и м е н е и зм ен я ю т р а сп р ед е л ен и я п ри м еси .

П р е д е л ь н о е р а с п р

е д е л е н и е м о ж ет бы ть

д о ст и г н у т о з а б о л ь ш ее и ли м ен ь ш ее

число

д о с т и г а е т с я .

В о з м о ж н о , д л я

б о л ь ш и н ст в а р а ссм а тр и в а ем ы х п р о ц есс о в

д л я у с к о ­

р ен н о г о

д о с т и ж е н и я

п р е д е л ь н о г о р а с п р е д е л е н и я

о к а ж е т с я в п о л н е

ц ел есо о б р а зн ы м

п р о в ед ен и е

н а ч а л ь н о й ст а д и и

в о с о б о м

р е ж и м е ,

к оторы й о т л и ч ен

о т о сн о в н о г о

р е ­

ж и м а .

Е с л и

за д а ч е й

р а сч ет а

я в л я ет ся

н а х о ж д е н и е п р ед е л ь н о го р а сп р едел ен и я .,

то

д л я ф о р си р о в а н н о г о

р еш ен и я

м о ж н о

в о сп о л ь зо в а т ь ся ан ал оги ч н ы м и

расчетн ы м и

н о ч н ы х р а сп р ед е л ен и й

в ы б и р а ется

са м о е б л и зк о е

к

п р ед е л ь н о м у р а сп р ед е л ен и ю ,

п о д в ер г а ет ся к о р р е к т и р о в к е и п р осч и ты в ается по

за д а н н о м у р е ж и м у

д о у с т а н о в л е ­

н и я

п р ед е л ь н о го р а с п р е д е л е н и я .

С

п ом ощ ью у к а за н н ы х сп о со б о в о б ъ ем р асч ета м о ­

ж е т

бы ть со к р а щ ен в

н еск о л ь к о

р а з . В св я зи с эти м

с л е д у е т п о д ч ер к н у т ь и н т е р е с ­

н у ю

о с о б е н н о с т ь р а ссм а т р и в а ем о го

м е т о д а , к о то р а я

х а р а к т ер н а д л я

ш аговы х и т е ­

см а тр и в а т ь

к ак

р е зу л ь т а т о т к л о н ен и я

п р о ц есс а

о т за д а н н о г о

р е ж и м а , д о ст а то ч н о

н еб о л ь ш о го

ч и сл а ц и к л о в

(п р а к т и ч еск и

д в а -т р и

п р о х о ж д е н и я

зо н ы ), чтобы

п о л н о ­

сть ю

у с т р а н и т ь

о ш и б к у , и н ач е г о в о р я ввести си ст ем у в за д а н н ы й р еж и м . П р ак ти к а

р а сч ет а п о д т в ер д и л а ,

что

д л я п р о в ер к и

п р ед е л ь н о го р а сп р ед е л ен и я д о ст а то ч н о п р о ­

в ести

в сего

о д и н

ц и к л

р а сч ет а . К р и т ер и ем

в это м

сл у ч а е б у д е т

я в л я ть ся со в п а д ен и е

о б о и х

р е зу л ь т а т о в . Г р а ф и ч еск а я п р о в ер к а

р а с ч е т а , о сн о в а н н а я

н а вы явл ен и и

р езк о

с ; (х) = \ [Сп_г (X + /) - Сп (х)),

(II.20)

чальное и граничные условия:

С0 (х) = С0;

(П.21)

i

Cn(0) = - Y - J c n_1(x)dx

(11.22)

о

И

Сп(х) = -J- с„ (L — / — 0)

при L — l < x «£ L

(II.23)

или

Cn(x)==Cn(L — 1)

У

1 при L — l ^ x ^ L .

(И.24)

тому, как если бы

мы в выражениях

(11.20)—(11.24)

положили

С0 = 1. В результате получим

С'п (х) = k [С„_х (х +

0 — Сп (х) ],

(11.25)

С0 (х)=

1;

(11.26)

i

(11.27)

Сп ( 0 ) ^ k \ c n_1 (x)dx;

о

С„ (х) =

С„ (L — / — 0)

при L — K x z ^ L - ,

(11.28)

С„ (х) = Cn (L — /) (L — x)ft_1

при

L — / х sg: L,

(11.29)

с в (х + дх) = с п(х) + ^ с л х ) + ^ £ с ; ; ( х ) + . . .

(п.зо)

Это разложение верно для всех значений х, в которых

Сп (х)

С"п(х) =

[с;_, (х + /) — С'п (х)] =

= ( 4 ) 2 Юп- 2

(х + 21) - 2Сп., (х + /) +

Сп(х)];

(11.31)

Сп *(х) — ( ~ )

{Cn—i (X + И) + (— 1) ^

j J j J | X

X C n —( i —l) [X +

(i

1) /] + (— l)2

2 ) \ 2 !

C n- ( i - 2 )

X

X [x +

(i - 2) / ] + . . . +

(-l)'C „ (x )} .

(11.32)

Сп(х

Ах) = Сп (x).-f- [С„_х (х -f- /)

Сп(х)] k Ах.

(11.33)

Аналогично в качестве второго приближения получим

Сп (х 4~ Ах) = Сп (х) -|- [С„_х (х 4~ /) — С„ (х)] &Дх -\-

• +[С„_2(х + 2)-2 С „_ 1(х + /) +

Ся(л) ] - ^ ^ - .

(П.34)

В качестве третьего приближения

Сп(х + Ах) = С„ (х) [Сп_г (х + /) — С„ (х)] k Ах +

+ Сп_г (х + 2/) -

(х + /) + Сп(х)]

+

4~ [Ся_з (х +

3/)—ЗС„_2 (х -|- 21) -|- ЗС„_Х(х -|- /) 4- Сп (х) ^

3 1^

(11.35)

С1(х 4~ Ах) — Сх(х) 4' [ 1 — Сг Ml

k Ах

(k Дх)2

(11.36)

2]

а в

третьем приближении

С1(х 4- Ах) — Сх (х) 4” [ 1 — Сх(х)]

k Ах — (£ Дх)2

(йДх)3 1

2 !

3!

(11.37)

Для

второго прохода в третьем приближении

С2 (х 4- Ах) = С2 (х) 4- [Сх (х 4- 0 — С2 (х4 k Ах 4-

4- [ 1 - 2Ci (х + /) + С2 (х)]

+ [ -

2 + 3Сх (х 4- D -

- С 2( х ) ] ^ ^ .

(11.38)