Файл: Вигдорович, В. Н. Совершенствование зонной перекристаллизации.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 68
Скачиваний: 0
уравнения Рида с измененными исходной концентрацией и коэффи циентом распределения. Зависимости (1.54), (1.62), (1.66), (1.71) и (1.72) могут быть немонотонными. Например, условие наличия экстремума зависимости (1.62) следующее: k <; 1 и k + k'B3 > 1 . Остальные зависимости монотонные.
В данном разделе были рассмотрены однократные процессы на правленной кристаллизации. Многократная нормальная направлен ная кристаллизация еще не нашла широкого применения. Для зон ной очистки и легирования задача расчета распределения концен трацией полностью решена при допущениях Па в работе Ш. И. Пейзулаева [49] и Пб в работах А. Е. Вольпяна с сотрудниками [44] и Б. А. Сахарова с сотрудниками [45]. При допущении II в работах Бумгарда [27, с. 36—54], Голда [50] и В. Н. Романенко [25] полу чены интегральные выражения, позволяющие вести расчет распре деления концентраций для последовательных проходов зоны при многократной зонной очистке и легирования, встречном и кольцевом вариантах зонного выравнивания. При допущении I рассмотрена многопроходная очистка и легирование в работе Маделунга [27,
с. 55—63].
Следует отметить, что в подобном рассмотрении нуждаются также колонная зонная перекристаллизация [27] и зонная перекристал лизация с градиентом температуры [30].
НЕОДНОРОДНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ (ПРИМЕСЕЙ) ПРИ НАПРАВЛЕННОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ
До сих пор рассматривалось распределение компонентов (примесей) вдоль загрузки, которое в большинстве случаев оказывалось пере менным, а следовательно, неравномерным. Например, в начальной части загрузки при нормальной направленной кристаллизации рас пределение является более равномерным, чем при зонной перекри сталлизации.
Одной из причин неоднородного распределения примесей по сече нию загрузки может служить искривление фронта кристаллизации. М. Г. Мильвидский [51 ] показал, каким путем может возникать подобная неоднородность и численно оценил ее расчетным путем при различных искривлениях фронта кристаллизации при нормальной направленной кристаллизации и вытягивании кристаллов из рас плава. Он получил формулу, учитывающую кривизну фронта кри сталлизации. Эта неоднородность из-за выпуклости или вогнутости фронта кристаллизации тем больше, чем больше его кривизна и чем больше коэффициент распределения отличается от единицы. Кроме того, такая неоднородность возрастает от начала к концу кристалла.
При зонной перекристаллизации должна наблюдаться каче ственно аналогичная картина.
Другими причинами неоднородного распределения примесей по сечению образцов могут быть преимущественное испарение компо нентов (примесей) для поверхностных слоев расплава по сравнению с внутренними слоями расплава, когда диффузионное или конвек
3* |
35 |
тивное перемешивание не обеспечивает выравнивание состава во всей массе расплава. Это касается и других видов взаимодействия рас плава с паровой фазой, контейнерным материалом и т. д.
Основным средством борьбы с химической неоднородностью по се чению загрузки является создание температурных полей, обеспечи вающих плоскую форму фронта кристаллизации и интенсивное перемешивание расплава.
Экспериментальное исследование свойств кристаллов металлов, полупроводников и других веществ, выращенных методами направ ленной кристаллизации, показало наличие в них микронеоднород ностей. Эти микронеоднородности приводят к неравномерному рас пределению компонентов (примесей) и свойств как по длине, так и по сечению кристаллов. Первоначально исследователи были склонны объяснять эти неоднородности случайными нарушениями темпера турного режима или случайными механическими помехами. Однако волнообразный характер наблюдаемой неоднородности заставляет думать, что причина кроется в концентрационном переохлаждении расплава.
Феноменологическое и математическое рассмотрение этого во проса (А. И. Ландау, 1958 г., и Б. Н. Александров с сотрудниками, 1958 г.) показало возможность такого явления, протекающего в виде незатухающего периодического процесса концентрированного и раз реженного включения примесей в растущий кристалл даже в усло виях, исключающих термические и механические неравномерности осуществления кристаллизации (см. [26]). Основные черты этого явления заключаются в накоплении отклонения концентрации в при фронтовом слое от концентрации в расплаве из-за диффузионной или конвективной недостаточности и в регулярном сбросе накопленного отклонения вследствие наступающего концентрационного переохла ждения. В промежутках между сбросами действуют тиллеровские допущения.
В тех случаях, когда, как это имеет место при вытягивании кри сталлов, из расплава, кристаллизация идет в асимметричном тепловом поле и кристалл равномерно вращается в этом поле, может наблю даться также волнообразное периодическое изменение скорости кри сталлизации. В результате периодическое неравномерное распреде ление примесей,, как следствие многослойного спирального роста, может становиться еще более ярко выраженным. При этом можно наблюдать хорошую корреляцию между внешней формой кристаллов («винтовая нарезка») и волнообразным распределением примесей в объеме кристалла («полосы роста»).
Основными средствами борьбы с микронеоднородным распределе нием компонентов (примесей) является создание равномерных и ста бильных температурных полей, применение совершенных механиче ских приводов и передач, а также интенсивное перемешивание расплава.
Г л а в а II
ТЕОРИЯ МНОГОПРОХОДНОЙ ЗОННОЙ ПЕРЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИМЕСЕЙ ПРИ МНОГОПРОХОДНОЙ ЗОННОЙ ПЕРЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ
Лорд [52] и Рейсс [53, с. 207—225] первыми в 1953 г. дали решения для распределения примесей по длине прямых слитков полубесконечной длины для любого числа проходов. Был использован метод аналитического решения дифференциальных уравнений в конечных разностях. Предположение полубесконечной длины слитков равно сильно отсутствию учета обратного воздействия концентрирования примеси в конечной части слитка. Следовательно, для слитков конечной длины L после л проходов полученные Лордом и Рейссом решения в строгом смысле справедливы только на участке 0 ^ I «с;
L — nl. Рейсс получил, приближенные решения для слитков ко
нечной длины при 0,9 < к < |
1,1. При этом было достигнуто также |
||
некоторое упрощение путем замены переменных: х на £ = |
[2 (1 — |
||
— k)lkl] |
х и л на К = {2 [(1 — &)/&]2} л. Известны также |
упро |
|
щения |
Милликена [54 ], |
которые сводятся к замене тройного |
|
суммирования двойным и одинарным с помощью формулы бинома. Точные выражения по Лорду и Рейссу записываются в виде:
|
= |
1 — (1 — £)ехр(— ka)[z]\ |
(II. 1) |
|
г — п — £ |
S ^ |
1exp (— sk) Yi /'s)or (/■ +!-—ka)\ |
(II-2) |
|
t= 1 |
s = l |
|
r= о |
|
|
(S ) |
-s—r—2 |
(II.3) |
|
|
|
|||
|
fy |
(s- |
1)! r! |
|
|
|
|
||
где a — длина загрузки, выраженная в длинах зоны (а = xll).
По Милликену, для определения Сп {а) для ряда требуемых зна чений л справедлива формула
П—1 t
= 1 — (1 — k) exp (— ka) n — S S ks~l exp (— sk) X
|
|
t= 1 s= l |
|
X |
(s + a)s - 2 |
[a (s — 1) -f- (1 — ka) (s -f- a)] |
(II-4) |
|
s ! |
|
|
37
а для единственного требуемого значения п справедлива формула
Сп (а) |
|
л - 1 |
|
— (1 — k) exp (— ka) п — 2j (п — s) ks~l X |
|
||
С0 |
|
||
|
S = 1 |
|
|
X exp (— sk) |
— [a (s — 1) + (1 — ka) (s + a)\ |
(II.5) |
|
или (для k << 1)
C n ( a )
exp (— ka) 2 ( S - п ) -S + sa,} ks X
s = n + l
X exp(— &s)[a(s — 1) + (1 - k ) ( s - f а)]. (II.6)
Если величина k достаточно мала, то по формуле (II.6) сходимость при расчете обеспечивается быстро, а так как не приходится произ водить вычитаний из единицы, то это способствует сохранению точ ности расчета.
Рейсс приводит приближенное выражение для начального участка
загрузки: |
|
|
|
|
|
= 1 + n(k - 1 ) - |
' " |
j |
j |
( ~ sk) t |
(ц .7) |
которое получается из формулы Милликена (II.5) при а = 0. |
кар |
||||
Выполненные работы |
[52—54 ] |
позволили |
выявить общую |
||
тину поведения примесей при зонной перекристаллизации и привели к необходимости произвести большую вычислительную работу итера ционными методами \ поскольку точные расчеты для последующего прохода невозможны, пока не будут получены результаты расчетов для предыдущего прохода.
Расчеты по формулам Лорда и Рейсса позволяют проследить, какая достигается чистота с каждым последующим проходом. Напри мер, при k = 0,9524, С0 = 1 и Ы1 = 100 для начальной части загрузки имеем следующую картину изменения концентрации с про
ходами |
[22]: |
|
|
|
|
|
|
|
Число проходов |
0 |
50 |
200 |
400 |
1000 |
2000 |
оо |
|
Концентрация . |
. 1 |
0,52 |
0,28 |
0,15 |
0,037 |
0,0058 |
0,00045 |
|
1 В математике под итерацией понимают результат многократного применения |
||||||||
какой-либо математической операции. Так, если |
есть некоторая |
функция f (х) = |
||||||
= fi (х), |
то функции / 2 |
(х) = |
/ [fL (х)\, /з |
(х) = f |
[/2 (х)), |
|
(х) = f [/„_! (*)] |
|
будут соответственно второй, третьей, . . ., n-ной итерацией функции / (х), а пере ход от функции f (х) к функциям / 2 (х), / 3(х) и т. д. будет итерированием. Итерации
используются при решении различного рода алгебраических и функциональных уравнений и их систем методом последовательных приближений.
38
Хамминг (см. работу [22 J) в 1955 г. разработал вычислительный метод, состоящий в условном разбиении объема слитка на элемен тарные объемы и условном же скачкообразном продвижении расплав ленной зоны на целое число объемов. Таким образом, постепенный процесс продвижения расплавленной зоны вдоль загрузки заме няется искусственным прерывистым или скачкообразным, что делает возможным производить расчет распределения примеси для каждого отдельного положения или скачка зоны. Бирман [55] в том же 1955 г. разработал другой вычислительный метод, состоящий в ус ловном разбиении объема загрузки на элементарные объемы, что позволило использовать методы матричной алгебры. Разбив слитки на N элементарных объемов, составляют квадратную матрицу (N XN). Используя действия матричного исчисления, исходную ма трицу преобразуют в матрицу, характеризующую распределение после'заданного числа проходов. Преимуществом при этом является то, что основную матрицу при заданных длинах загрузки и зоны для данного значения коэффициента распределения приходится вычис лять только один раз. Кроме того, одной расчетной операцией удается перейтйот распределения после п проходов к распределению после п2 проходов.
Оба расчетных метода (Хамминга и Бирмана) позволяют вести расчеты при любых исходных распределениях примеси и учитывать изменение различных параметров в ходе процесса.
Были также предложены устройства для моделирования распре деления примесей при зонной перекристаллизации, использующие различные принципы: механический, гидравлический и электриче ский (см. работы [22, 26]). Расчетный метод Хамминга был применен в работе Бурриса, Штокмана и Диллона [53, с. 225—242], исполь зовавших вычислительную программируемую машину с интегри рованием по формуле трапеций, для исследования влияния различ ных параметров процесса на распределение примесей при зонной перекристаллизации загрузок конечной длины.
Одновременно с исследованием распределения примесей расчет ными методами [22, 53 ] продолжались поиски аналитических ре шений.
В 1956 г. Б. Н. Александров с сотрудниками [46] получил реше ние методом составления дифференциально-интегральных уравнений для случая, неучитывающего эффект от схода зоны со слитка в конце процесса. Наиболее полным и строгим является исследование Брауна и Маршалла [27, с. 7—19], выполненное в 1957 г. и приведшее
кполучению решений для загрузки конечной длины.
В1961 г. Рейсс и Гельфанд [56] нашли аналитическое решение, используя преобразование Фурье для любого исходного распределе ния примесей, для загрузки полубесконечной длины.
Экшлагер с сотрудниками [57] в 1971 г. разработал приближен ный балансовый метод расчета распределения при многопроходной зонной перекристаллизации, заключающийся в замене криволиней ной зависимости прямолинейной. Коэффициент распределения был принят зависящим от концентрации расплава по параболическому
39