Файл: Вигдорович, В. Н. Совершенствование зонной перекристаллизации.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

нарушается непрерывность производной С'п (.х), а при условии (11.28) нарушается и непрерывность самой функции С„ (я). В результате,

если после первого

прохода разложение (11.30)

не выполняется

в одной точке х = L

— I, то после второго прохода

— в двух точках:

х = L — / и х = L — 2/; после третьего прохода — в трех точках, удаленных от конца загрузки на целое число длин зон и т. д. По­

этому, чтобы пользоваться

разложением (11.30) при

условии х >>

> L — nl, нужно выбирать

интервалы Ах такими,

чтобы указан­

ные точки нарушения непрерывности приходились на концы этих интервалов.

Влияние граничного условия (11.28) или (11.29) ведет также к тому, что в предпоследней зоне загрузки после всех проходов на­ чиная со второго для расчета во втором приближении должна исполь­ зоваться зависимость

Сп (х -)- Ах) — Сп (х) -)- [С„_х (х -f- /) Сп(х)] 6 Ах +

 

+

—fe-Cn—i (х -\- I) — С„_1 (х -{- /) -f- Сп(х) (k Ах)2 .

(11.39)

для расчета

в третьем приближении в той же

зоне — зависимость

Сп (х -f- Ах) — Сп (х) -f- [Сп_х(х -}- /) — Сп (х)] k Ах -\-

 

+

■С,j_i (х I) — С„_х (х -|- 1) -f- Сп (х)

(k Ах)2

 

2 !

 

 

 

 

k2- C~ nn -- ll

(х -fI - /)Ч ----- kГ- С’п- l (х -(- /) -|- С„_1 (х

/) —-С п (х)

(k Ах)3

 

 

 

(11.40)

а для третьей зоны от конца в третьем приближении — зависимость

Сл (х Дх) = Сп (х) -j- [С„_х (х —j—/) — Сп (х)] k Ах -\-

+ [Сп—2(х + 2) — 2С„_х(х -)- /) + С„ ( х ) ] ^ — [-

+ -j Сп-2(х +2/) — 2Сп_г (х

21) ЗСп_1 (х -f- /) Сп (х)

(й Ах)3

— 3!

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.41)

Концентрации С„_г (х + /)

в

уравнениях

(11.39) и (11.40) и

С„_2 (х + 21) в уравнении (11.41)

определяются

из условия (11.28)

и (11.29), а производные — путем дифференцирования этих условий. При остальных значениях п и х приближенный расчет концентра­ ций в загрузках конечной длины можно вести по уравнениям (II.33)— (II.38) для полубесконечных загрузок.

Необходимо отметить, что если второе граничное условие опреде­ ляется выражением (II.29), то, как это следует из равенства (II.25), начиная со второго прохода при х --> L — I, Сп’ (х) ->0 и расчет С„ (L — I) по полученным выше приближенным формулам приводит

4 В. Н- Вигдорович

49

к большим погрешностям. В связи с этим

Сп (L — l)

следует искать

по формуле

 

 

 

 

L—l

 

 

 

(11.42)

Cn (L — I) = k L — J Cn (x) dx

,

 

0

 

 

 

 

заменяя точное интегрирование приближенным.

Если для последней

зоны загрузки справедливо условие (11.28), то расчет

Сп (L — I)

также можно вести по этой формуле, подразумевая под

Сп (L — /)

значение Сп (L — I — 0) слева от точки

х = L — I.

В результате

устраняется нарушение баланса примеси в загрузке за счет неточ­ ности расчета.

При расчете в первом приближении для приближенного интегри­ рования целесообразно использовать метод трапеций, который сво­

дится к

спрямлению

криволинейных участков Сп (х) длиной Ах:

 

X

 

 

 

J Ся (£)#&%■ 1Сп (0) + 2Сп (Ах)+

 

 

о

 

 

 

~Ь 2С„ (2Дх)- j- • • • ф-2С„ (х — Ах) -f- Сп{х)]\

(11.43)

при расчете во втором приближении — метод парабол:

 

X

 

 

j

Сп (I■) dl ~ ^

[Ся (0) + 4Сп (Ах) + 2Сп (2Ах) + • • •

+

о

 

 

 

 

-)- 2Сп (х — 2Ах) ф- 4С„ (х — Ах) -)- Сп (х)]

(11.44)

и т. д.

По первому приближению равенство (11.31) принимает следую­

щий вид:

 

 

Сп +

Ах) - Сп (х) = [С„_х (х + /) - Сг (х)] ^ .

(II.45)

В частном случае

Ах = Пт,

 

 

 

где т — целое число, получим расчетное выражение (II. 16),

найден­

ное ранее другим

путем.

 

Таким образом, замена плавного движения зоны скачкообразным и спрямление криволинейных участков распределения С„ (х) дают приближение одного порядка.

Равенства (II.31) и (II.32) справедливы для всех х с любой сте­ пенью точности лишь для бесконечно больших п и для полубесконеч-

ных загрузок, когда

отсутствует влияние

начального условия

(при п ~ 0) и граничного условия (при х >

L, где L — длина за­

грузки).

 

 

В случае зонной перекристаллизации имеет место начальное

условие

 

 

Сп (х)

= С0 (х) при п = 0,

(П.46)

характеризующее исходное распределение примеси, и Граничные условия

 

Сп (х) =

0

при х < 0

и при х > L .

(И.47)

Равенство

(11.32)

для

первого

прохода принимает вид

с!"

(х) = (

4

)

2 ( - 4

) ' т!"

(X+D +

 

 

 

 

/—О

 

 

 

 

+

( - i ) / Yi, , ( 4 - ) l - l c i W .

(п -48)

а уравнение (11.30) представляет собой разложение функции Сг (х),

определенной по

уравнению

Рида в точке (х + Ах):

 

Ci (х) = [1 — (1 — k) exp (—Ах//) ] С0,

(11.49)

где Со (х) = С0 — const.

 

 

Для второго прохода

 

 

с$° (х) =

(4-)2 2

( - 4 У y}/+1)C4'-2-/) (X + 21) +

 

 

/=о

 

 

+ ( - - г ) ‘^ S

(— 1У Y/0^ ^ / [х + (7 — /) /].

(11.50)

 

/=“

 

 

Для я-ного прохода

i

( 4 - ) ‘ '^ i (— i)'yi‘)Cn-u-j)[x + (i — i)l] при

/=о

С ? (х) =

(4 - )" 2

( - 4 У

У'п_1_/)со<_"+/)(х + ni) +

i=0

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (

2

(

^ y}l)Ci-Jlj[x 4- (i — j) /]

 

 

f=t—n+1

при

i > л.

 

 

 

(11.51)

Биноминальные коэффициенты у в этих выражениях можно определить из равенств (11.20)—(11.31) с учетом выражения (11.46) или из треугольника Паскаля по схеме, показанной на рис. 16. В равенствах (11.48), (11.50) и (11.51) концентрации Су и их произ­

водные С/г) обращаются в нуль в точках х > L в соответствии с усло-

4 *

51

виями (11.47); то же самое, понйтно, относится и к производным Со;) от исходной концентрации, если она постоянна.

Граничные условия (11.47) совместно с уравнением (11.20) позво­ ляют определять концентрацию в начальной точке загрузки

(11.52)

о

и распределение на участке последней зоны, подчиняющееся урав­ нению нормальной направленной кристаллизации:

Сп(х) — y Сг (х) (11.53)

или

(11.54)

Влияние «схода зоны с загрузки» в конце прохода приводит к на­ рушению непрерывности производных в точках, отстоящих от конца

 

 

 

 

загрузки на

 

целое число

 

 

 

 

длин зон. В точке х = L

 

 

 

 

непрерывность

функции

 

 

 

 

Сп (х)

нарушается

начи-

 

 

 

 

= 0 ];

в

точке х =

L — I

 

 

 

 

непрерывность

функции

 

 

 

 

С'п (х) нарушается начиная

 

 

 

 

с п =

1. В точке х = L —

 

 

 

^

■— 21 — непреры вность

 

 

 

функции С"п (х) нарушается

 

 

 

6

начиная

с п = 2

и т. д.

 

 

 

Следовательно, чтобы име­

 

 

 

 

ло

место

 

разложение

Рис.

1G.

Схема определения

коэффициентов в фор­

(11.31),

Ах должны выби-

раться так, чтобы не вклю­

 

 

мулах (2.48)

— (2.51)

Этого

можно добиться, если началом

чать в себя этих точек.

отсчета

Ах

будет

точка

х =

0 и отношения L t Ах и И Ах будут целыми числами.

Таким обра­

зом,

 

можно считать

концентрацию в

конце

одного

 

отрезка Ах

равной концентрации в начале следующего отрезка. Исключение составляет точка х = L — I. При х = L значение Сп (х) в уравне­ нии (11.54) становится бесконечно большим; поэтому градиент кон­ центрации С'п+ 1 {х) в точке перехода к участку нормальной направ­ ленной кристаллизации становится бесконечным, как это следует из уравнения (11.20). На расчетных кривых распределения в этой точке после всех проходов зоны начиная со второго будет скачок концен­

52

Смотрите также файлы