Файл: Вигдорович, В. Н. Совершенствование зонной перекристаллизации.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
Наиболее часто функции С0 (х) и / (х) имеют следующий вид!
С0 (х) = С0 = const, |
(11.65) |
f(x) = [ ^ Y ~ 1, |
<(П.66) |
если происходит нормальная направленная кристаллизация в по следней зоне, или
f(x) = |
(п -67) |
если последняя зона затвердевает вся сразу.
Функции (11.66) и (11.67) имеют конечные производные любого порядка при всех х, кроме х = L. То же самое можно сказать и о функ ции С0 (х), за исключением не рассматриваемого пока случая зонной перекристаллизации с «целевой загрузкой», когда С0 (х) имеет раз рыв в области О <С х •< L или выражается б-функцией (рассматри
вается |
в монографии |
[25]). |
|
Вторая, третья и последующие производные от концентрации |
|||
после |
первого прохода имеют вид: |
|
|
|
с \ (X) = 4 Со (х + 0 + (4-)2Со(х + |
0 + ( 4 ) 2Ci (х); (11.68) |
|
|
Ci'(x) = ± |
Со(х + I) - ( A ) 2 |
Ci (х + I) + |
|
+ ( А ) 3 с 0(х + / ) - ( 4 - ) 3С1(х) |
||
И т. д.
Подставляя их в разложение (11.61) вместе со значением первой производной
|
С [ ( х ) = |
- у - [ С 0 ( х + 0 •— C i ( х ) ] , |
|
( 1 1 . 6 9 ) |
непосредственно следующим из уравнения (11.62), получим |
|
|||
С1(х + Ах) = |
С1(х) [1 |
- ( • 1г Е- ) т Г + '( А7£ ) 24 - -------- |
|
|
|
|
k Ах \ 2 |
1 |
+ |
+ С ,(х + 0 ( ^ ) ^ [ 1 - ( ^ ) ^ + ( ^ ) |
2-3 |
|||
+ с ; (л: + / ) ( ^ ) гф [ 1 - ( ^ ) З г + |
|
|||
+ |
т |
2^ - - - - ] ( 4 ) + " - |
|
( 1 1 . 7 0 ) |
|
|
|||
Это выражение справедливо при х < L — /; в последней же зоне выполняется уравнение (11.64). Аналогичным образом получается выражение для второго прохода, справедливое лишь при х < L — 21. Подобные зависимости легко найти и для последующих проходов,
58
причем участки загрузки, для которых они выполняются, с каждым проходом сокращаются на длину одной зоны. Учитывая, что
, |
( k Ах \ |
1 . / k Ах \ 2 1 |
' ' |
ехр ( — ~ j ~ ) |
> (П.71) |
|
|
— \~ Т ~ ) 1 Т ^ \ ~ Г ) !Г ~ |
|||||
можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
Сх (х + |
Ах) — Сх (х) ехр ^-----^ |
С0(х -f- /), |
|
|
|
|
|
О ^ х <■ L — /; |
|
|
|
|
С2 (х 4- Ах) = [с 2 (х) + Сх (х + /) |
ехр ( - |
+ |
С0 (х 4- 2/), |
|||
|
|
0 < x < L — 21 |
|
|
(11.72) |
|
и т. д.
Последние члены этих равенств отражают влияние начального условия:
с 0( х + о = с , ( ^ + / ) 4 £<г ( 1; 2; ~ 4 4 +
+ с;(* + 0 ( 4 |
4 4 г ( т ) « 4 |
3 ;- 4 ^ ) |
+ |
||
+ с;(* + 0 ( 4 4 * |
4 ( 4 7 <3( I; |
4; - |
*4) + • ■■; |
||
С, (ж + 21) = С,(х + 21) ( 4 i ) !4 |
<?( 2; |
3; - 4 4 |
+ |
||
+ С«д:+ 20(4^)34(4)<3(2; |
4;-2t|i) + |
||||
+ C ; ^ + 2 / ) ( 4 i ) 44 ( 4 - ) 2 «(2', |
|
|
|
(11.73) |
|
и т. д. |
|
|
|
|
ряды |
Через Q обозначены вырожденные гипергеометрические |
|||||
(функции): |
|
|
|
|
|
Q \ п, (п 4-1 — г), |
kAx |
kAx |
|
|
|
] - 1 4 - |
I ;i! ( ( rt+2i+) |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
п (п + 1) |
|
|
(11.74) |
+ |
т |
2! (м + 1+ 0 [(я + 1+ 0] 4" 1 |
|
||
|
|
||||
где i — порядок |
производной. |
|
|
|
|
Для наиболее часто встречающегося случая (11.65): |
|
||||
|
|
kAx |
kAx |
|
|
|
Со (х 4" 0 — С0 —j— Q(l, 2, |
|
|
|
|
C(x + 2l) = C 0( ^ - ) 2^ - Q (2 , |
3 |
kAx |
(11.75) |
||
|
|||||
59
Равенства (11.72) совместно с равенствами (11.75) эквивалентны уравнению Лорда для полубесконечной загрузки.
Влияние граничного условия (11.64) формально очень сходно с влиянием начального условия (11.63). Распределение концентраций в последней зоне после всех проходов, начиная с первого, описы вается уравнением (11.64). В предпоследней зоне, начиная со второго прохода, распределение описывается уравнением
Сп(L - |
21 + |
Ах) = |
С„ (L — 21) ехр ( - |
+ |
|
+ |
C„_!(L — /) при П ^ 2 ; |
(11.76) |
|
в третьей зоне от конца начиная с третьего прохода |
|
|||
Сп (L - |
31 + Ах) = |
[Сп (L - 31) + Сп_х(L - 21) |
х |
|
X |
exp |
|
+C„_2( L - 0 при |
(11.77) |
и т. д.
Выводятся эти зависимости так же, как и уравнение (11.72). Последние члены их представляют собой функции от граничного
условия, аналогичные функциям (11.73): |
|
|
(L - 1) = с„_, а - I) |
(], 2, - |
+ |
|
|
|
|
(11.78) |
c„-a ( / - - / ) |
= C„_s (L - |
0 [/ (L - t) |
Q(2, |
3, ~ k Ах |
+ |
Г (L - 1) |
)* 1 ( 4 - ) Q (2. |
4. - |
+ |
+ f |
( 1 - / ) ( А ^ ) ‘ф ( ф ) ! <г(2, 8 |
. - ^ - ) + . |
||
и т. д.
Подставив в соотношения (II.78) выражение для функции (II.66), получим:
Сп-1 |
= с п_г (L ~ 1) [ A £ l Q (1 , 2, - |
+ |
|
|
+ 1т 1 ( ^ £ ) 2^ Г (3 ( 1- 3 ,- A f £ - ) + |
|
|
(1 —k)(2 — k) |
( kAx \з 1 |
|
|
+ |
/г2 |
( 1 т 1 )3-5г<г ( 1- 4' — ^ ) + |
|
(11.79)
60
+ -4 F±-(-t r i ) ‘ - s - « ( 2.
И T. Д.
Если же справедливо условие (11.67), то имеем, подобно выраже ниям (11.75), соотношения:
Cn. 1( L - l ) |
= Cn_1( L - l ) ~ - ~ Q |
[ l , 2 |
, - ^ y , |
(11.80) |
|
Cn_2 (L - 0 = |
Сп_2(L - /) |
4 |
- Q (2, |
3, - ~ |
) |
и т. д.
Полученные выражения позволяют вычислить концентрационный профиль после n-ного прохода зоны, если известны концентрационные
профили после предыдущих |
п — |
1 проходов и концентрация в ка |
||
кой-либо точке (например, х = 0) после n-го прохода. |
|
|||
Обозначим через М п [х ; |
х Д |
/ ] количество примеси, содержа |
||
щейся |
на участке загрузки |
[х; х + Л после n-ного прохода |
зоны. |
|
Тогда |
концентрация примеси в |
начальной точке загрузки |
после |
|
я-ного прохода определится выражением, являющимся вторым граничным условием:
С(0) = -£-Мп_1[0;1]. |
(11.81) |
Допустим для простоты, что отношение Ы1 — целое число. Проинтегрировав равенства (II.72) и (II.76) по Ах в пределах от 0 до /, найдем М п [х; л: + /] при целых значениях отношения xll. Из уравнений (11.72) получим
Mi [х; х -|- /] = -у- [Сх (х) kQ (1, 2, — k) Д С0 (х Д /)]
при 0 ^ х < L — /;
М2[х; х Д /] — С2 (х) kQ (1,2, — k) Д Ci (х Д /) х
X ~ Q ( 2 , 3 , - k ) Д С 0(хД 2/) |
(11.82) |
при 0 < х < L — 21
и т. д. Здесь
Со (х Д /) = С0 (х Д /) 4 Q (1, 3,— k) Д С6 (х Д /) 4 х 3!
X (-i - ) Q ( l 4 , - k ) + C'o(x + l ) ^ ( - L ) 2Q ( l , 5 , - k ) +
(11.83)
61