Файл: Вигдорович, В. Н. Совершенствование зонной перекристаллизации.pdf

Cn_2 (L - 1) = Cn_2 (L — l) [f(L — l ) ~ Q (2, 4 , - 6 ) +

+/ '( ^ - 0 - 5 - ( 4 ) Q ( 2. 5 , - ^ ) +

+г ( ^ - о | - ( 4 ) 2(з(2. 6 ,- * ) + . . /

62

и т. д., если имеет место условие (11.66), и

Cn-i (L — l) = Сп. х ( L - l ) ~ ^ Q ( \ , 3 , - k)-

(11.81) могут быть использованы как основные расчетные выражения. Наиболее трудоемкую часть расчета составляет нахождение функций

от начального и граничного условий С и С — сумм сходящихся двой­

ных рядов, если не выполняются условия (11.65) либо (11.67). Чтобы преодолеть это затруднение, можно использовать табличные дан­ ные или ограничиться нахождением только функций С, если вместо

уравнений (11.75) и (11.76) пользоваться уравнениями (П.82) и (11.85).

Преимущество рассматриваемого расчетного метода заключается

втом, что он дает возможность определять наряду с концентрациями

иколичества примеси в загрузке на длине одной зоны.

На рис. 18 сравниваются результаты расчета до десятого— шестнадцатого прохода с результатами расчета, проверенными на электронной вычислительной машине по методу Хамминга, заимство­ ванными из монографии Пфанна [22]. На рисунке видно, что эти результаты совпадают между собой.

При выводе соотношений (II.82) и последующих предполагалось, что отношение LU — целое. Нетрудно, однако, обобщить их на дроб­

тем интегрируя равенства (II.72) и (II.76) по Дх в пределах от 0 до 1Х и от 1Х до 1—1х, получим соотношения, аналогичные соотношению (II.82); загрузка окажется разделенной на участки длиной 1Хи /—llt т. е. необходимое количество расчетных точек примерно удвоится. Точно так же придется поступить, если отношение LU —■целое, но требуется, чтобы Ах было меньше /.

Остановимся теперь на упомянутых двух вариантах зонной пере­ кристаллизации с целевой загрузкой, когда при 0 < х х < L на-

63

рушается непрерывность функции С0 (х) или же С0 (х) представляет собой б-функцию. В первом случае, если отношение x j l — целое число, то расчет не отличается от обычного, если же оно дробное,

Рис. 18. Результаты расчета распределения примесей по точному ме­ тоду для зонной перекристаллизации при С0 — 1; k = 0,5; L = 5 и I = 1 и их сравнение с результатами расчета на электронной вычисли­ тельной машине по методу Хамминга (точки), заимствованными из монографии Пфанна [22]

РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ ЗОННОЙ ПЕРЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ

Точные решения дифференциального уравнения зонной перекристал­ лизации при пфанновских допущениях для предельного распределе­ ния слишком сложны для практических расчетов. Из приближенных решений наибольшее распространение получила экспоненциальная формула Пфанна (II.10), точность которой тем ниже, чем, меньше отношение массы загрузки к массе расплавленной зоны. В. Н. Вигдорович, А. Е. Вольпян и Л. М. Ферштер [64] разработали доста­ точно точный и простой метод расчета предельного распределения при зонной перекристаллизации в пфанновских допущениях. Запи­ шем дифференциальное уравнение зонной перекристаллизации:

64

где Сп_j (х + /) — концентрации примеси в загрузке с координа- и Сп (х) тами х + I и х после (п — 1)-го и n-ного прохо­ дов зоны (концентрации будем выражать в долях исходной концентрации, которую примем равной

единице); С'п (х) — градиент концентрации;

к — коэффициент распределения;

I — количество вещества в расплавленной зоне;

х— величина, представляющая собой количество ве­ щества, перекристаллизованного при рассматри­ ваемом проходе зоны.

Отсюда, положив Сп_х (х + /) = С„ (х + /) и исключив индекс п, получим дифференциальное уравнение предельного распределения при зонной перекристаллизации:

Проинтегрировав его в пределах от 0 до х, получим после неко­ торых преобразований:

Обозначим через М (х; х + Дх) количество примеси на участке загрузки от х до х + Дх и учтем граничное условие

При рассмотрении приближенного и точного методов расчета распределения примесей при зонной кристаллизации было показано, что концентрации и количества примеси в процессе с равномерным затвердеванием в последней зоне связаны следующими соотноше­ ниями:

Мп (0; l) + М п (/; 21) + • • • + Мп (L - /; L) = L, (П.95)

где L — масса загрузки, численно равная количеству примеси в ней. Постоянные at и bt определяются по формулам

и р и аргументом г (в случае зонной перекристаллизации г равен

а также воспользовавшись уравнением (II.94), получим систему урав нений в случае равномерного затвердевания в последней зоне:

(1 — аг) C (L — 21) — biC {L — l + 0) = 0;

C(0) + C ( / ) + . . . + 6 C ( L - / + 0) = ^ .

Если в последней зоне загрузки происходит нормальная направ­ ленная кристаллизация, то кривые распределения в отличие от рассмотренного случая непрерывны при х = L — / и вместо системы (II.98) получим следующую:

66

Значения постоянных at, bt и сг были рассчитаны по форму­ лам (11.96), (11.97) и (11.100) соответственно с помощью электронной вычислительной машины и све­ дены для облегчения расчетов в таблицы, которые приведены в ра­ боте [64].

Расчетные кривые сопоставля­ ются на рис. 19 с кривыми пре­ дельного распределения, заимст­ вованными из монографии Пфанна [22]. Они хорошо совпадают.

Рассмотренный метод решения дифференциального уравнения многопроходной зонной перекри­ сталлизации путем представления

Рис. 19. Результаты расчета предельного рас­ пределения примесей при зонной перекристал­

последней зоне и их сравнение с данными, заимствованными из монографии Пфанна [22]

распределения концентрации в виде простых итерационных выра­ жений, а именно многочленов первой степени относительно концентраций с постоянными коэффициентами, которые заранее рассчи­ тываются и табулируются, был использован для совершенствования теории зонной переплавки (загрузка — жидкая, зона — твердая) [65], а также теории зонного выравнивания (во встречных направле­ ниях и в кольцевых загрузках) [66].

5 ;