Файл: Вигдорович, В. Н. Совершенствование зонной перекристаллизации.pdf

При допущении II в этих случаях в равенстве (1.40) следует поло­

жить С* = Сат/& .

Перейдем в выражении (1.39) к новой переменной х = /т — коли­ честву закристаллизованного вещества и запишем уравнение ба­ ланса летучей примеси для выращивания кристаллов нормальной направленной кристаллизации (по Бриджмену) и выращивания кри­ сталлов из расплава (по Чохральскому) при допущении I и при условии Сат (т) ф const:

В этом уравнении V — масса газовой фазы, определяемая из усло­ вия постоянства общего количества летучей примеси в замкнутом контейнере:

или после интегрирования и перехода к концентрации в твердой фазе

где g = х/L — закристаллизованная доля загрузки.

Это уравнение аналогично уравнению, полученному Маделунгом [27, с. 55—63], но содержит постоянные, которые подлежат экспе­ риментальному определению. Если величина k' известна, то можно

30

С (0) — 1 + й'(у//) >

где J — масса расплавленной зоны.

Преимущество уравнения (1.50) по сравнению с аналогичным уравнением, полученным Маделунгом, состоит в том, что оно позво­ ляет описать распределение примеси, не используя коэффициенты k и k'.

Перейдем к допущению II и рассмотрим вначале нормальную на­ правленную кристаллизацию (по Бриджмену). Заменим в уравне­ нии (1.39) переменную по формуле (1.42) и учтем, что

dm = d [Сж(х) (L — х)] = (L — х) dCx (х) — Сж(х) dx.

Учтя также изменение концентрации летучей примеси в расплаве за счет сегрегации, получим уравнение баланса примеси до и после перемещения фронта кристаллизации на величину dx:

в случае контейнера и кристалла постоянных поперечных сечений можно считать, что F {x)/{L — х) = F (0)/L, где F ( 0) — площадь контакта расплава с атмосферой до начала кристаллизации. Из ра­ венства (1.48) получаем дифференциальное уравнение

или после интегрирования (Бумгард [27, с. 36—54 ])

31

Это выражение получается в результате интегрирования уравне­ ния (1.40) по т в пределах от 0 до т 0 (время выдержки расплава до на­ чала кристаллизации) при F (т) = F (0), dm = LdCx (т) и Сж (0) =

=С0 (концентрация летучей примеси в загрузке до расплавления). Интеграл в равенстве (1.54) при наиболее часто встречающихся

значениях коэффициента распределения 0 <С k <j 2 может быть вы­ числен как разность

У[2 — k\ k'B3\ — у [2 — k] k’B3(1 — g)|

двух неполных гамма-функций [48]:

При других значениях k удобно разложить подынтегральное выра­ жение в ряд и почленно его проинтегрировать. Например, при k = 2

Для выращивания кристаллов из расплава по Чохральскому при допущении II имеем F (х) = F (0) = const и вместо уравнений (1.53) и (1.54) получаем

В случае зонной перекристаллизации при допущении II в урав­ нении (1.39) необходимо положить: dm — ЫСЖ(х); F (х) = F (0) = = const и, кроме сегрегации примеси, учесть подпитку зоны веще­ ством исходного состава С0. Вместо уравнений (1.52), (1.50) получим

Выражение для С0 совпадает с (1.55), если заменить в нем L на I.

32

В зависимости от соотношения величин С* и Сж(т) в уравне­

испаряющейся примеси в атмосфере, а допущение Пб — легирова­

нию из высококонцентрированной газовой фазы. Положив С* = 0 в выражениях (1.54), (1.55), (1.58), (1.61), получим распределения

Насыщение расплава примесями из контейнера формально также может быть описано в рамках допущений I и II. При этом поверх­ ностный слой контейнера играет роль внешней среды (атмосферы), коэффициент распределения примеси между контейнером и распла­ вом — роль величины k ' , поверхность контакта расплава с контей­ нером — роль поверхности F (т) и т. д.

Конечно, в этом случае говорить о мгновенном выравнивании концентраций примеси во внешней среде можно лишь условно, имея в; виду некоторый эффективный поверхностный слой контейнера; коэффициент распределения k' в данном случае — не равновесный, а эффективный коэффициент и т. д.

Для обмена примесью с контейнером полученные зависимости остаются в силе, за исключением выращивания кристаллов по Бридж­

мену и по Чохральскому при допущении И. Это связано с тем, что площадь контакта расплава с контейнером в случае цилиндрического контейнера изменяется по формуле F (х) = F (0) — [А (0) — F (L) ] X X(x/L), где F (0) и F (L) — площади контакта до начала кристалли­ зации и в последний момент кристаллизации. Уравнения распределе­ ния имеют вид:

Здесь k"B3 = kB3F (L)/f, kB3 = kB3 — kB3 и C (0) определяются равен­ ством (1.50). Допущение Па, очевидно, не реализуется. Допуще­ ние Пб (см. работы Ю. М. Шашков [43], А. Е. Вольпян с сотрудни­ ками [44] и Б. А. Сахаров с сотрудниками [45]) справедливо, когда кристаллизуются очень чистые материалы в недостаточно чистых контейнерах. Вместо соотношения (1.71) в этом случае получаем

где С (0) определяется равенством (1.67).

Не анализируя подробно полученные зависимости, отметим неко­ торые их особенности. Уравнение (1.46) характеризует распределе­ ние, которое можно получить из распределения нормальной направ­

путем растяжения вдоль оси g в С (0)lkC0 раз. Поэтому при g —>1 функция С (g) стремится не к 0 или оо, как зависимость (1.73), а к величине С (0) [1 — С (0)/^С0]*_1. Уравнение (1.50) есть из­ вестное уравнение Рида [17]:

в котором коэффициент распределения уменьшен в [1 + (k'V/l)] раз. Зависимость (1.69) представляет собой уравнение Рида с измененной исходной концентрацией примеси, а зависимости (1.61) и (1.65) —

34