Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 140

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

На третьем шаге мы получим систему уравнений

31

V i

(125)

для неизвестных >./,. Максимальный ранг матрицы

равен Si - j - So, где s2— второй характер

системы (115). Так

как матрицы \\\>?/'II и Ц^У'Н в силу (117)

и произвольности

alti имеют одинаковое строение, то все строки первой мат­

рицы,

стоящие ниже

строки

с номером su

являются линей­

ными

комбинациями

предыдущих. Поэтому

ранг

этой

мат­

рицы

не превышает

ранга

матрицы

и

s2

строк

ее,

являющихся независимыми от всех других строк матрицы (126), находятся средин, первых строк. Поэтому можно опять

провести

перенумерацию уравнений

(115

так, что

в пер­

вых

5 , строках

по-прежнему будут

стоять

линейно

незави­

симые векторы Q), а в первых

5 2 < 5 , строках — линейно

независимые векторы 2у.

 

 

 

 

Продолжая такую перенумерацию до последнего (/г-го)

столбца,

мы приведем нашу систему к следующему

„лест­

ничному

виду":

 

 

 

 

 

[ohQ\\

+

[c a af ] +

• • • + к - i ^ Г 1 ]

+

К ^ П

= о,

 

[u),2Jn + i] + [cu2 2^ + i] -\

h [u)„_i

И )

] а > Х ] +

K £ £ J J +

• • • + [«,„_, 2 Г 1 ] +

= o,

[(«,21,+ !]

1+ [mtQ2St+1\

+ • • • + K - i 2",+i] +

= 0,

74

] + m:j=o,

I"»i2r] +

[ о ^ ? ] + • • • +

2 Г 1

] + [%2г]

=

0.

 

 

Здесь

над

„границей"

располагаются S !

+

s

2 4

\-sn=-r\

векторов

Qj,

образующих

базис

пространства

ТГо

а под гра­

ницей—векторы Qj, являющиеся их линейными комбина­

циями. Назовем

первые

базисными и обозначим

их

2,

а вто-

рые — небазисными и обозначим их

2.

Тогда

 

ь

 

 

 

 

 

 

2

=

7*2,

 

 

 

 

(127)

 

 

t

 

ь

 

 

 

 

 

 

Ь=\,

rt;

t = 1,

пг

— гх

 

 

 

(индексы у, / — опущены).

Конечно,

некоторые

из

2

могут

быть равны нулю.

 

 

 

 

 

 

t

 

(А)

 

 

 

 

 

 

 

Решениями

системы

 

могут

служить распределения

 

 

2

-

Р' ш..

 

 

 

 

(128)

 

 

ь

 

ь

 

 

 

 

 

Отсюда в силу (127) определяются все 2} в виде

 

 

2у =

^ ' П -

 

(129)

Проводя

построение регулярной

цепи по

способу Кэле­

ра, мы получим

между X"1 соотношения вида

(118)

 

 

ХУ' =

Х>\

 

( 1 3 0 )

которые можно

получить

и

на основании леммы Картана

{см. § 5 , гл.

1). Кроме того,

X}'1 будут

связаны

и соотноше­

ниями, вытекающими из (127). Однако последние не связы­

вают Р', т. е.

коэффициенты

Кэлера. Если никаких

других

ь

 

 

(А) —

соотношений между X"1 не возникает, то уже система

в инволюции.

Мы должны поэтому предположить против­

ное, т. е. допустить наличие таких соотношений:

 

 

Л ( х " 1 ) = о,

(131)

не сводящихся к (130) и не вытекающих из (127).

 

Осуществим

продолжение системы (А) при помощи вы­

ражений (129),

которые мы должны замкнуть, т. е. продиф­

ференцировать

С129) внешним

образом, считая X"1 неизвест­

ными функциями. Мы получим новую квадратичную систему вида

[ ^ , n ] + 4 ' A K a > i . ] = 0 ,

(132)

где точные значения AlJ'h нас не интересуют (их можно вычислить при помощи (116), (111) и (114)). Эта система также не противоречива, т. е. допускает решения

 

 

 

фН> =

р»^Ш1а

 

 

/ , = 1, . . . , я ,

(133)

где,

конечно

Р"'' 3 = Р'/1'.

Введя

новые

формы

 

 

 

 

 

=

 

^dty-f*1'1**,,,

 

(134)

 

мы

приведем

систему

(132) к виду, аналогичному

(115):

 

 

 

 

[Q'/m,]

 

- 0 .

 

(135)

 

Эта система содержит п-r уравнений,

т. е. п подсистем ви­

да (А), соответствующих

различным

значениям

индекса i.

Если

в каждой из них провести

такую же границу, как

в (А),

то под ней останутся

 

векторы

 

 

 

 

 

 

2 ' = rfV —/>". <1);,

 

(136)

 

 

 

t

 

t

 

t

 

 

 

 

 

(индексы j , it

так же, как в (127) опущены), а над ней —

векторы

Qift =ft ft

 

 

PUWI

 

(137)

 

 

 

 

 

 

Векторы (136) линейно

зависят от (137). В самом деле,

про­

дифференцировав вытекающие

из (127)

равенства:

 

 

 

 

 

 

 

л ' =

t

ь

 

(138)

 

получим

 

 

/

 

 

 

 

 

d)J = уьй\1

 

+ £*'•<!>,,.

(139)

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

ft

 

t

 

 

 

 

Исключив из

(136), (137) и

(139) дифференциалы сГ/.\ d)J,

мы и получим

искомую

зависимость.

 

t

*

 

 

 

Таким образом, в каждой из подсистем системы

(135) под

границей останутся

небазисные векторы

касательного

вектор­

ного пространства,

соответствующего

новой системе

(132).

При этом среди векторов, стоящих над границами,

не все

векторы будут базисными, так как имеют место

соотношения

= 2', г .

(140)

Следовательно, уже в силу (140) только в одной из подси­ стем (той, которую мы взяли первой) над границей может не оказаться небазисных векторов 2J'1. Однако имеют место еще соотношения (131). Всякое такое соотношение в силу (127; вызывает некоторое соотношение между базисными векторами 2}, а последнее в силу (137) — соотношение меж ­

ду базисными векторами

Следовательно, по крайней

76

мере, один из последних будет небазисным. В качестве первой подсистемы мы возьмем такую, в которую входит этот вектор. Тогда в каждой подсистеме над границей бу­ дет находиться, по крайней мере, один небазисный вектор. Перенумеровав в случае необходимости строки и сделав замену базисных векторов ш ; вида

ш л = ш л 4- C V

где q— номер столбца, содержащего этот вектор, а Л — но­ мер последнего элемента этой строки над границей, мы пе­ реведем новый небазисный элемент в угловую «клетку» таблицы.

Итак, если система (А) — не в инволюции, то во всех подсистемах системы (135) граница поднимется, по крайней мере, на одну «клетку».

При следующем продолжении получится уже п2 подсис­ тем, но опять в каждой из них произойдет подъем границы. Так как число пг «клеток» каждой подсистемы конечно, то

после конечного числа (<С пг)

шагов мы или получим систе­

му в инволюции, или вполне

интегрируемую систему

(когда

на некотором этапе все Q'/"

окажутся нулями).

Теорема

доказана.

 

 

§ 1 1 . Стандартные квадратичные системы

Мы установили, что после одного продолжения исследова­ ние всякой внешней дифференциальной системы сводится к исследованию квадратичной системы. Вот почему в предыду­ щей главе мы уделили квадратичным внешним алгебраичес­ ким системам особое внимание. Здесь мы, опираясь на тео­ ремы существования, доказанные в § 8—9, получим теоре­ мы, соответствующие алгебраическим теоремам, доказанным

в§ 8, гл. 1.

Вслучае двух независимых переменных квадратичную внешнюю дифференциальную систему мы будем называть

стандартной, если она имеет вид

(1)

 

С"

 

 

( П

 

[ в 1

(В,]

 

 

=

* Т , [ ш , с о , ] ,

 

(2)

Ш,] +

(2)

 

 

(2)

(141)

 

[ в

2

<о,] =

IX, [U) Wo] ,

 

 

 

 

1

 

Та

 

TJ

 

 

 

 

(3)

 

(3)

 

 

(3)

 

[2» °>l]\ +

[Я**2] =

*Тз

 

Тз

 

Тз

 

 

 

 

77

где о)j и u>2 — линейно независимые формы, принадлежащие касательному векторному подпространству Т., дифференциа-

(1)

О)

лов независимых переменных, 2 2 ,

2 2 — формы, образую-

Ti Тз

щие базис касательного векторного подпространства Тт диф­ ференциалов г неизвестных функций, индексы -f; пробегают значения от 1 до xt, причем если уравнения той или иной строки отсутствуют, то соответствующее тг считается рав-

<<?)

ным нулю. Формы Qv (</ = 1, 2) выражаются через базис по

т ?

формулам

(28), гл. 1

 

формулам, аналогичным

 

( ? )

(?)

3 (<7)

.

(р)

 

В<? =

& = V

А]Р

2',

 

т?

7?

P=l т?

т/>'

 

/ = 1,2;

1Фр,

/7

=

1,2, 3,

(142)

(?) .

 

 

 

 

 

 

где А\Р являются функциями всех переменных, удовлетворяющими ооычным условиям аналитичности в некоторой

области

Д

арифметического

пространства

Х2+г,

в

которой

тем

же

условиям

удовлетворяют

и коэффициенты

всех

форм

Пфаффа.

 

(С. В.

Бахвалова).

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

 

1

Стандартная

квадра­

тичная внешняя

дифференциальная

система

(141) — в

инво­

люции,

если

в

 

области

Д существуют

функции

'Ь\

и Ф,,

удовлетворяющие условию (30), гл. 1, где величины

оп­

ределяются

в виде (31), гл. 1 при помощи

выражений

(142).

Она

имеет

(в

некоторой

области

арифметического

прост­

ранства

Х2+г

 

всех переменных)

р е ш е ш е

(т. е. интегральную

поверхность),

зависящее

от

s2

=

произвольных

функций

двух

переменных,

если

т3 Ф 0,

и от s, =-с, +

х2 произволь­

ных функций одного переменного, если

s2

= х з = 0

(т. е.

уравнения третьей строки отсутствуют).

 

 

 

 

 

 

Этот результат является непосредственным следствием

теоремы

1

из § 8,

гл. 1 и второй

теоремы

Картана,

дока­

занной в § 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стандартная

 

квадратичная

 

внешняя

 

 

 

дифференциаль­

ная

система

с

п

независимыми

(выделенными)

перемен­

ными

и

г

неизвестными

функциями

первого

 

или

второго

рода

определяется

как

система, которой

в

фиксированной

точке

М0

пространства

Хп+Т

 

соответствует

стандартная

внешняя

алгебраическая

система

вида

 

(37)

первого или

второго

рода, определенная в § 8, гл. 1. При этом

базисным

формам

ш/

касательного

подпространства

 

Тп

 

дифференциа­

лов независимых переменных соответствуют векторы xi си­ стемы (37), формам 2 подпространства ТГ дифференциалов

78

Смотрите также файлы