Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

неизвестных функций — векторы z системы (37), а коэффи­ циенты а, р соответствуют функциям всех переменных. Бук­ вами s,, sn как обычно, обозначаются характеры стан­ дартных систем. Выпишем здесь для примера такую систему для случая п = 3:

 

 

 

 

 

Р Ж 4 =

0,

 

(143,1)

{ (1),

 

(1),

 

(1),

 

( П . .

 

 

 

(2)

 

(2)

 

(2)

 

(2)

, .

 

 

 

№)2ЛЫ

+

]©T2,2">2]

+ K,2«»i]

 

К ш ь Ь

 

(Н3,2)

(3) ,

 

(3)

 

(3)

 

(3)

 

 

 

 

l ^

. ]

+ №

2 3

^ +

[ ^ 2

3 Щ ]

=

К

со,],

 

 

 

 

 

 

^

U l

= °4:,('21

К «>/,]•

(143,3)

Т е о р е м а

2.

Стандартная

система

первого

рода

внеш­

них

дифференциальных

квадратичных

уравнений — в

инво­

люции и имеет решение (интегральную поверхность), зави­

сящее

 

от

sn

произвольных

функций

п

переменных,

если

s„ Ф 0,

от

 

произвольных

функций п—\

переменных,

если

sn

— 0,

ф 0

и т. д. (в

некоторой

области арифме­

тического

пространства всех

переменных),

где

su...,s„

—

характеры

системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот результат вытекает из теоремы 2, § 8, гл. 1 и второй

теоремы

Картана,

доказанной

в

§ 9. Для

системы (143)

характеры

будут

равны:

s3

— числу

уравнений

(143,

3),

s2 — числу

уравнений

(143,

2)

и

Si— числу

уравнений

(143,

1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для стандартной системы второго рода небазисные

фор­

мы уравнений (п—1)-й строки

выражаются

через базисные

по формулам,

аналогичным

формулам

(48), гл. 1

(выписыва­

ем только существенные для дальнейшего члены):

 

 

 

i,J,k

=

\,

 

 

(144)

причем опять

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Я - 1 , «

 

 

 

 

 

 

 

Имеет

место

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

3.

Стандартная

система

второго

рода — в ин­

волюции,

если

существуют

функции <Ь/,

удовлетворяющие

в некоторой области

Д арифметического

пространства

Хп+Г

условиям

1),

2)

и 3)

теоремы 3, § 8,

гл. 1.

Произвол

ее

79

решения

определяется по

характерам системы так

же, как

в предыдущей

теореме.

 

 

Наконец, из теоремы 4, § 8, гл. 1 вытекает.

 

Т е о р е м а

4. Внешняя

квадратичная дифференциальная

система

вида

[QUj]=0;

i,j=\,...,n,

 

где

 

(145)

 

 

 

 

Q{ = Qlj

суть линейно независимые формы Пфаффа, образующие ба­ зис векторного пространства дифференциалов неизвестных функций, а {шу} — базис векторного пространства дифферен­ циалов независимых переменных, всегда—в инволюции и име­ ет в некоторой области изменения всех переменных решение, зависящее от одной функции п переменных.

Тривиальным примером является система

[dz^dx,] = О,

где z'1 = z'1' являются коэффициентами разложения по лем­

ме

Картана

тождеств [dzidxi]=0,

вытекающих из тождест­

ва

da = zl

dxt.

 

Глава 3

МЕТОД ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА И РЕПЕРАЖ ПОДМНОГООБРАЗИЙ

Подвижные реперы, т. е. системы координат, ассоцииру­ емые с элементом геометрического образа, широко применя­ ются в дифференциальной геометрии. Среди них особое зна­ чение имеют канонические реперы, т. е. реперы, строение которых полностью определяется самим геометрическим образом. В простейших случаях реперы находят непосредст­ венно из геометрических соображений, используя, прежде всего, теорию соприкосновений. Развитый в предыдущей главе аппарат позволяет построить аналитический алгоритм нахождения канонических реперов геометрических образов, а также полуканонических реперов, являющихся канониче­ скими для тех или иных подмногообразий данного геометри­ ческого образа.

Проводимые ниже определения и рассуждения нетрудно распространить на весьма широкие классы пространств, гео­ метрических образов (т. е. многообразий, погруженных в про­ странство) и подмногообразий геометрических образов. Одна­ ко идею этих методов легче усвоить при рассмотрении прос­ тейших случаев. Поэтому мы будем рассматривать геометри-

80

ческие образы в трехмерном евклидовом или аффинном про­ странстве и пользоваться аппаратом обычного векторного исчисления*). О более общих построениях см. [7, 12, 15, 41, 42].

§ 1. Основные определения

Будем рассматривать трехмерное аффинное пространство, или, что то же, аффинную геометрию геометрических обра­ зов, погруженных в трехмерное евклидово пространство, т.е. будем изучать те свойства геометрических образов обычного пространства, которые сохраняются, какому бы аффинному

преобразованию

мы не подвергли этот образ.

 

В этом случае

основные

необходимые для

дальнейшего

определения можно дать в

следующем простом

виде, допу­

скающем довольно очевидное распространение на более об­ щие случаи.

О п р е д е л е н и е . 1.

Элементом

называется

совокупность

конечного

числа точек

и

прямых

линий.

 

Если

в пространстве

задана некоторая неподвижная аф­

финная система координат, то точки элемента можно задать радиус-векторами Г;, а прямые — уравнениями вида

г = р« +

Х/в,

(1)

где ра — радиус-вектор некоторой

точки

прямой, а / а — сво­

бодный вектор, параллельный прямой. Отсюда следует, что всякий элемент можно задать конечным числом радиус-

векторов (/",-, ра) и конечным числом

свободных

векторов

/„.

Разумеется, в элемент можно включать и

более

сложные

вещи, но для выяснения идеи мы ограничимся

определе­

нием 1.

 

 

 

Если

векторы,

определяющие

 

эле­

О п р е д е л е н и е

2.

 

мент

Е,

являются

в

некоторой области

А

достаточное

число

раз

дифференцируемыми

функциями

 

некоторого

числа

р параметров,

то совокупность

всех элементов,

соот­

ветствующих

всем

значениям

параметров

 

(пробегающих

область

AJ,

называется

геометрическим

 

образом

Фр,

со­

стоящим

из

элементов

Е.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ясно,

что один

и тот же

геометрический

образ

можно

задать

различными

наборами

функций

rt,

ра,

1а,

но

любой

набор этих функций задает вполне определенный геометри­

ческий

образ.

Например,

две

функции р =

р (0 и / =

*) Н а ч и н а я с

э т о й

г л а в ы и

д о

к о н ц а

книги, в е к т о р ы

т р е х м е р н о г о п р о ­

с т р а н с т в а

в с ю д у ,

к а к

обычно,

о б о з н а ч а ю т с я п о л у ж и р н ы м

ш р и ф т о м .

6. З а к а з 6667.

81

определяют регулюс, т. е. линейчатую поверхность, рас­ сматриваемую как совокупность прямых вида (1). Так или иначе, каждый геометрический образ задается как совокуп­ ность конечного числа вектор-функций от р параметров. Эти параметры мы будем называть первичными параметрами геометрического образа.

О п р е д е л е н и е

3.

Если

наряду

с геометрическим

об­

разом

Фр заданы

 

одна

радиус-вектор

 

функция

г

и

три

вектор-функции

 

ти

т2,

тъ, удовлетворяющие

 

условию

 

 

 

 

 

[тх

т,

т3)

Ф 0,

 

 

 

 

 

(2)

причем

эти

вектор-функции

 

являются

функциями

 

тех

же

параметров,

что

и

функции,

определяющие

образ

Фр,

то

определяемая

точкой

г

(начало)

и

векторным

 

базисом

{/и;} аффинная

система

 

координат

(а

также

 

совокуп­

ность

всех

этих

систем,

 

соответствующих

 

всем

зна­

чениям

первичных

 

 

параметров)

называется

 

подвижным

репером

образа

Ф р .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В современной литературе понятие репера и вообще си­

стемы

координат

 

трактуют обычно более

широко. Именно,

системой координат называют просто закон, определяющий отображение некоторого множества (дифференцируемого многообразия, погруженного многообразия, геометрическо­ го образа и т. п.) в арифметическое пространство. В конк­ ретных геометрических исследованиях удобно этот закон задавать при помощи некоторой простой геометрической фигуры, которой присваивается наименование репера. Мы придерживаемся здесь именно такого понимания термина „репер". Если задать некоторый репер r°, т°, то каждому реперу г, т , будет соответствовать, как известно, единст­

венное

 

аффинное

преобразование,

переводящее

 

репер

г°,

т{\

в

репер

г, Ш/.

Обратно,

каждое аффинное

преоб­

разование

можно

задать

как

преобразование

репера

r°,

m°i

в

некоторый

репер г, и , .

Так

как

четыре

вектора

г,

mt

определяются

двенадцатью

координатами

 

~2,

 

tl2

относительно г°,

га°, то говорят, что „аффинная

группа

трех­

мерного

пространства

двенадцатичленна",

т. е. общее

пре­

образование

этой

группы в аналитической

записи

содержит

12 существенных параметров. С

геометрическим

образом

можно

 

ассоциировать

бесчисленное

множество

 

реперов.

С

каждым

элементом

(т. е.

при

фиксации

р

первичных

параметров)

можно

ассоциировать

четверку

векторов

г,

mL,

82

Смотрите также файлы