Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

зависящую от 12 параметров, что позволяет в общем

случае

считать векторы

г,

tnt

зависящими

не только

от р

первич­

ных параметров,

но

и

еще от 12

параметров,

которые мы

будем называть

вторичными.

определению:

Наиболее

общим

репером

геомет­

О п р е д е л е н и е

4.

рического

образа

Фр называется

совокупность

аффинных

систем

координат,

определяемых

достаточное

кисло раз

дифференцируемыми

функциями

t2<

t„, t j , T 2 i

т J з ) >

(3)

ttli(tt,

t->, tp,

т , , т , ,

- , 2

) ,

удовлетворяющими

условию

(2).

Здесь tu t2, ...

tp

— первичные

параметры,

при помощи

которых

определяется

геометрический

образ,

параметры

хи т ,2. ••••> T i 2

являются

вторичными.

При этом

12

скалярных

функций / и

/ , ,

/ 1 2

— координаты

векторов г,

т г

— должны

удовлетворять условию

IHUfl^JA

, 0

(4)

которые

при

фиксированных

t\

и т р

определяют

фигуру

Ф.

О п р е д е л е н и е

5.

Каноническим

подвижным

репером

геометрического

образа

называется

подвижной

репер,

по­

лученный

из наиболее

общего

репера

(3) путем

задания

всех вторичных

параметров

т р

как

функций

главных

па­

раметров

так,

что

векторы

г, nti

становятся

геомет­

рически

инвариантно

зависимыми

от

образа

Фр.

Здесь под „геометрически инвариантной зависимостью"

понимается

возможность задать

каждый из векторов

г,

т1

6*.

83

Подобно

тому как в аналитической

геОхМетрии

изучение

того или иного геометрического образа

(линии,

поверхности)

или класса

образов значительно упрощается

путем

целесо­

Так, в нашем

случае

мы

можем

распоряжаться

четырьмя

вектор-функциями от 12 +

р

параметров, а кроме того, можем

производить произвольную

замену

параметров по

формулам

*

*

. . . , t'p), I

=

1, 2, ...,/?,

tx

= tl

(t\,

t2,

(5)

I *

*2

. . . , х12),

р =

1,2,

12,

k

,

p — X„

\X\,

T

где функции

и хр

должны

удовлетворять

лишь

обычным

дифференциально-геометрическим

условиям

и условиям ви­

да (4).

не может быть и речи

На первый

взгляд, в

этих

условиях

никаким соображениям точной теории» ([20],

стр.

116).

Однако аппарат метода внешних форм позволяет отвлечь­

ся от того произвола, который дают формулы

(5), а

рассмат­

риваемые ниже метод канонизации репера по

Картану и спо­

мента

в

репер".

Пусть

элемент

определяется

несколькими

точками

Ми

М,,...,

ма

с радиус-векторами

г„ г 2 ,... , г, (от­

носительно

неподвижной

системы

координат)

и

нескольки­

ми направляющими

(свободными)

векторами

/ 2 , .,., I .

Тогда

одну из точек Ми

УИ2 ,...,

М 3 естественно

принять за

начало

репера, т. е. положить, например.

r = r l t

(6)

а

три (некомпланарных)

вектора

из

12,..., lq

принять за

базисные

векторы, т. е. положить,

например,

т ,

=

/,,

т2

= / 2 ,

т 3 =

1Ъ.

(7)

Тогда

положение

остальных

точек

М2,...,

Ма

и

векторов

/ 4 , . . . ,

/ ? определится однозначно относительно

выбранного

репера

при

помощи

определенного

числа

скаляров ср,,

с р 2 , . . . ,

<р*,

являющихся

функциями

главных

параметров

и

инвариантами

геометрического

образа.

При этом репер

принадлежат

элементу). Однако в практически

интересных

случаях

мы не

будем иметь такого „богатого"

элемента.

Так, например,

если элементом

является прямая

линия (1),

то включение

ее в репер

сводится к тому,

что

мы можем

поместить начало

репера

в

какую-нибудь

точку прямой

и

сделать

один

из векторов

репера

параллельным

вектору

t„.

В остальном

репер

остается

пока никак не

фиксированным.

л, щ

v =

1, 2, ... ,

р;

р =

1, 2,..., 12;

(9)

а,

6 =

1, 2,... ,

q;

и, v

= р-\-1,...,

q.

В формулах

(8) коэффициенты

2£ являются формами Пфаф­

фа вида

« i

= t «i +

- i ,

(10)

где

К = a a dh ,

(11)

rJa = b^d^,

(12)

а коэффициенты alax,

зависят в общем

случае

от

всех

параметров ti, х9,

(8)

заведомо

имеют

решения

вида

Так как уравнения

(3), то система

(8) должна

быть вполне интегрируемой, т. е.

внешние дифференциалы

уравнений

(8)

должны

быть ал­

гебраическими следствиями

этой

системы

(см. § 5,. гл. 2).

Дифференцируя

(8) внешним образом и внося в

результат

выражения dm« из (8), получаем

внешние

квадратичные

уравнения

D£'=

[ o { 2 J ]

(13)

(«уравнения

структуры»

аффинной

геометрии).

В результате

включения

элемента

в репер

некоторые

вто­

ричные параметры зафиксируются,

что проявится

и в дери­

торов

элемента

станет радиус-вектором г начала

репера, то

Следовательно,

dr \dt-dLl=...=dtp

=о = 0.

2;, =

Ч

и

< = 0.

Если один из векторов элемента

принимается, например, за

вектор/и 3 репера, то

или

dm31 df—dtl=

• • -=мр=о = 0

И

*'з = 0 .

В общем случае в результате

включения

элемента в ре­

пер мы получим q линейных

соотношений

между вторич­

ными

формами

т:'а с постоянными

коэффициентами. Очевид­

но, что q>p. В результате

получится, что q линейных ком­

бинаций форм

выразится

через

одни только

первичные

формы

со* в виде

^a = c a a * ^ a з a

= c a a ° a > a в a = <»a,

оа — 1, 2, ... ,

zа,

(14)

где У0 »в и ша„а

означают

заново

перенумерованную

часть

форм

й«

и соответствующих

им

форм ш'а,

a za — число та­

ких

форм, вошедших

в соотношение

с номером

а.

Одно­

временно

произойдет

фиксация

части

вторичных

форм:

<

"

^

=

0.

(15)

Формы са°Щаа

принадлежат

векторному

подпространству

{dh}.

Выберем

р из

них

за

базис этого

подпространства

правые части

соотношений (14) (обозначим их юи)

выразят­

ся через

Ш).

линейно:

шц = А1<1>\.

-(16)

Точно такие же соотношения возникнут и между

формами,

стоящими

в левых частях равенств (14),

Qu=*AuQi,

(17)

Аналитически первый шаг алгоритма 'канонизации

репе­

ра

сводится к

тому,

чтобы

1)

выяснить,

как

коэффициен­

ты

Л\

зависят

от

вторичных

параметров,

2)

зафиксировать

те

вторичные

параметры,

от

которых

зависят

АХИ

так,

что­

бы

первые основные соотношения,

а

следовательно,

и

де­

ривационные формулы

(8)

максимально упростились.

Чтобы

получить ответ

на

первый

вопрос,

продифферен­

цируем основные

соотношения (17) внешним

образом.

Так как соотношения (17) выполняются при всех значе­

ниях входящих в них переменных, т. е. являются

тождест­

вами,

то

мы получим

также

тождественные соотношения-

D9.a=[dAlu,

Qx\+Ax„DQx.

(18)

Так как формы щ образуют базис, эквивалентный

базису

{dh},

то

система

уравнений

ш\ =

0

эквивалентна

систе­

ме

dh

=

0. Следовательно,

система

шк = 0

вполне

интегри­