Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 121
Скачиваний: 1
мерные решения, соответствующие решению $ — Щ систе мы (15)—(16). Поэтому число фундаментальных решений системы (15)—(16), порождающих двумерные решения си стемы (S), равно
|
Гг = П — |
max |
1 |
|
р2 |
— 1. |
|
Так |
как понижение ранга р> возможно лишь путем наложе |
||
ния |
конечного числа каких-либо |
алгебраических соотноше- |
|
ний |
о. |
|
|
на % |
|
|
|
Л(Р1) = о,
то максимальность р2 можно обеспечить бесчисленным мно жеством способов, требуя лишь, чтобы
по крайней мере для одного значения |
v. Если $*х<.п |
— I , |
||||||
то описываемый |
процесс |
можно продолжать. Он закончит |
||||||
ся, когда для некоторого номера g + 1 получится |
|
|
||||||
Тогда |
на (g |
+ |
1)-м |
шаге |
система для |
определения |
pf + 1 |
не |
будет |
иметь |
никаких |
решений, линейно |
независимых |
от |
ра- |
||
0
нее найденных (q — 1, 2, ... g). Следовательно, не суще ствует никакого регулярного (g -+- 1)-мерного решения.
В итоге мы получаем цепь регулярных решений (регу лярную цепь):
(17)
принадлежащих вложенным друг в друга подпространствам
1 |
2 |
g |
Числа
«о = |
Pi. |
|
|
|
|
|
max |
|
|
St |
= |
p 2 |
— |
p u |
•*2 |
= |
max |
— |
max |
P3 |
Р2 , |
|||
(18)
max |
max |
Sg-1 = ?g |
—Pg-l, |
|
|
|
max |
max |
|
|
|
|
|
|
s g |
= |
Pg+i |
— |
Pg |
= 1 1 |
— я |
— Vg |
|
называются |
характерами |
системы |
(S), |
а число g — ее |
|||||
жанром. |
|
|
|
|
|
|
|
|
равна п — g\ |
Очевидно, |
что |
сумма |
всех |
характеров |
|||||
|
|
S O |
+ |
S I T |
|
[sg |
= n — g. |
(19) |
|
Отметим еще, что если система (S) не содержит урав нений выше второй внешней степени, то характеры, начи ная с первого ($,), не возрастают:
st > s 2 > • • • > sg.
Действительно, в этом случае системы для определения J3f и pf+ 1 имеют соответственно вид
О,
ъ
а1 Р Г 1 = о,
|
|
Та |
|
|
|
"(а |
|
т. е. |
= pp+i — рр есть число уравнений |
последней строки |
|
системы |
(Sp+i) |
(относительно неизвестных |
p f + 1 ) , независи |
мых между собой и от всех уравнений остальных строк
системы (Sp+i). |
Эти уравнения |
имеют |
такой |
же вид, что |
и уравнения |
последней строки |
системы |
(S ) |
(относительно |
|
0 |
0 |
|
о |
неизвестных |
$?) с заменой |
на pf„ причем |
р£ удовлетво- |
|
|
о _ |
|
|
|
ряют системе (Sp), а удовлетворяют системе (Sp-i), ко
торая состоит из таких же уравнений, что и первые р — 1
30
строк системы (Sp). |
Мы строим регулярную |
цепь. Поэтому |
|
уравнения последней |
строки системы |
(которая |
обес |
печивает максимальный ранг системы (Sp+i)) |
не могут |
иметь |
|
ранг больше, чем соответствующие уравнения системы |
(Sp). |
||
В силу того, что уравнения последней строки системы |
(Sp+\) |
||
сравниваются (при определении ранга этой системы) с боль шим числом уравнений, чем уравнения последней строки
системы (Sp), |
число |
sp |
может |
еще уменьшиться |
по сравне |
|
нию с sp-u |
Итак, |
sp |
< |
sp-i. |
|
|
§ 7. |
Системы с выделенными переменными. |
|||||
|
Критерии Кэлера и Картана |
|
||||
В простейших |
применениях |
теории внешних |
алгебраи |
|||
ческих уравнений к дифференциальной геометрии сущест венную роль играет следующая задача: для внешней ал
гебраической системы с ra-fr векторами х |
и х 2 |
, х п , ги z2,... |
гг |
|||||||||||
требуется |
найти |
цепь регулярных |
решений, |
принадлежащих |
||||||||||
последовательно |
подпространствам |
Э CI Э С |
• • • (Z Э, |
имею- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
я |
|
|
|
щим |
базисными |
векторами |
„выделенные |
|
переменные" |
|
хи |
|||||||
х2, |
хп |
или |
их |
линейные |
комбинации. |
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, векторы х{, х2, |
хп |
являются |
в |
неко |
||||||||||
тором |
смысле |
заданными (они выделяют |
в |
пространстве |
Е |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п + г |
|
некоторое |
подпространство |
Э), а |
векторы |
г,, г2, |
гт — ис- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
комыми. Так как в последнем звене |
цепи решений — в под |
|||||||||||||
пространстве |
Э — векторы хи |
х2, |
|
хп |
должны остаться |
не- |
||||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zj=\/x.(i=\t |
||
зависимыми, т. е. решение должно иметь |
вид |
|||||||||||||
2, |
п; 7 = 1,2, |
г), |
то |
х,, х2, |
хп |
|
называют |
|
также |
|||||
„независимыми |
|
(векторными) |
переменными". |
|
|
|
||||||||
Внешняя алгебраическая система*), в которой проведено |
||||||||||||||
указанное |
разделение |
переменных |
и для |
которой |
ищется |
|||||||||
цепь регулярных решений, принадлежащих подпространст
вам В CZ Э С |
• • • С 9, называется системой с |
выделенными |
|
1 |
2 |
п |
|
переменными.
Если система (S) допускает указанную цепь регулярных решений („регулярную цепь"), хотя бы при одном выборе базиса для выделенных переменных, то она называется „си стемой в инволюции". Имея в виду возможность замены ба зиса
xi = <4xJt |
det || оЛ| О, |
*) Саму систему выписывать не будем: она имеет вид системы (S) пре дыдущего § с очевидными изменениями обозначений.
31
будем |
искать |
регулярную |
цепь в следующем |
(по-видимому, |
|||||||||||
самом |
простом, |
но |
не |
единственно |
возмож ном) |
виде: |
|||||||||
Л: |
*2 |
= |
0, |
х3 |
= |
О, |
|
хп |
= |
0, zJ |
= \jxi, |
|
|
|
|
Р2: |
|
х3 |
= 0, |
|
хп |
= 0, zj = Ц х{ |
+ Ху лг2>, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
Я л _ ь |
х л |
= 0, |
Zj = |
Ху*, Н |
|
-f X""1 лг„_1, |
|
|
|
||||||
|
|
2у = |
Ху х,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Этот способ построения регулярной цепи решений системы |
|||||||||||||||
(S) называется способом |
Кэлера, |
а искомые |
скаляры "к) — |
||||||||||||
коэффициентами |
Кэлера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Способ |
Кэлера |
требует |
от нас последовательного |
решения |
|||||||||||
п линейных |
|
(вообще |
говоря, |
неоднородных |
в |
отличие от |
|||||||||
предыдущего |
§) |
систем |
|
в поле Q, |
причем |
в |
р-й |
системе |
|||||||
«предыдущие |
|
коэффициенты |
Кэлера» |
(т. е. KJ, |
q < р) следу |
||||||||||
ет считать известными и удовлетворяющими предыдущим сис темам. На каждом р-м шаге имеет место одна из трех ситу аций: 1) р-я система не совместна*) ни при каких значениях предыдущих коэффициентов Кэлера, удовлетворяющих пре дыдущим системам; 2) р-я система имеет решение только при условии, что предыдущие коэффициенты Кэлера удовлетво ряют не только всем предыдущим системам, но и еще неко торым дополнительным уравнениям, возникающим из условий
совместности |
р-й системы; |
3) |
р-я |
система |
совместна |
при |
|||||
произвольных |
значениях |
предыдущих |
коэффициентов |
Кэле |
|||||||
ра, удовлетворяющих предыдущим системам. |
|
|
|||||||||
|
В первом случае мы вообще не найдем решения, принад |
||||||||||
лежащего |
Э |
и содержащего |
предыдущее |
решение (содер- |
|||||||
жащееся в |
р |
|
|
случае |
найденное |
решение |
будет |
||||
Э )• Во втором |
|||||||||||
|
|
р— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
особым, так как при других значениях коэффициентов |
Кэле |
||||||||||
ра, |
не удовлетворяющих |
дополнительным |
уравнениям, |
ранг |
|||||||
рр |
повышается (см. предыдущий §). И |
лишь |
в третьем |
слу |
|||||||
чае можно продолжать построение регулярной цепи. Отсюда
вытекает |
|
|
Т е о р е м а |
К э л е р а . Цепь |
решений системы внешних |
алгебраических |
уравнений с |
выделенными переменными, |
построенная по способу Кэлера, является регулярной в том и только в том случае, если ни на одном шаге при решении оче редной системы линейных уравнений относительно коэффи циентов Кэлера Ху не возникает ни противоречий (т. е.
*) Напомним, что критерием совместности является равенство ранга мат рицы коэффициентов при неизвестных рангу расширенной матрицы, т. е. матрицы всех коэффициентов.