Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

торые,

естественно,

получаются из

(&) при м1

= 0 ) ,

но обра­

щение их в нуль также дает интересные классы

неголономных

конгруэнции;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

£3 =

0 — начало

полуканонического

репера

описывает

ортогональную траекторию

на

цилиндре

комплекса,

так

как

 

 

 

( а , г ) ( 0 1 = = ш 2 = о _ 1 _ е 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

8)

Е2 =

0 — фокус

F2

и

векторы

полуканонического

ре­

пера совпадают с началом и с

векторами

канонического

ре­

пера (включая в нумерацию); действительно, нормаль

ци­

линдра

raj

[е3, dr\

( 0 i = Ц

) 2 = 0

= (Ъе1

— е2)ш1

при

U = 0

совпа­

дает с

вектором е2 ,

как

и

в каноническом

репере

(см. § 2),

а главная

корреляция

(21)

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

только

при

t = — С2, т. е. (F2)i,

= o есть

центр луча

комплек­

са; заметим, что для этой неголономной

конгруэнции

г \ 2 явля­

ется кривизной комплекса; менее интересную характеристи­ ку данной неголономной конгруэнции дает тот факт, чго только для нее касательная к линии, описываемой вершиной полу­

канонического репера на

цилиндре

комплекса,

перпендику­

лярна

вектору

е2\

 

 

 

 

 

 

9) | j = 0 — касательная

к

линии,

описываемой

вершиной

полуканонического

репера,

лежит

в фокальной

плоскости

(R — г,

ех) — 0 неголономной

конгруэнции.

 

 

Рассматривая более сложные натуральные уравнения, мы

можем

получить

новые классы неголономных

конгруэнции.

Кроме

того, можно

рассматривать

и системы

натуральных

уравнений. Так как у нас два полувторичных параметра, то произвольные два уравнения, связывающие инварианты полу­ канонического репера комплекса, дают конгруэнции, которые имеются в общем случае в любом комплексе.

Однако в каждом конкретном случае мы обязаны прове­ рять, не приводит ли данное уравнение (или система двух уравнений) к соотношению на инварианты самого комплекса. В последнем случае конгруэнции указанного типа имеются только в комплексах определенного этим соотношением клас­ са. Эту проверку удобнее всего производить, пользуясь фор­ мулами перехода, которые мы получим в следующем пара­ графе.

Здесь же укажем еще условие, при выполнении которого уравнение ю1 — 0 становится вполне интегрируемым, и, сле­

довательно, комплекс

расслаивается

на оо 1

голономных кон­

груэнции. В силу (12)

оно имеет вид

 

R = 4 i i - ^ i - ^ 8

- o .

(136)

200

§ 8. Переход от канонического репера к полуканоническому

Будем обозначать все векторы, формы, инварианты и дру­ гие величины, относящиеся к каноническому реперу, буквой

«с» сверху, а для полуканонического репера сохраним прежние

обозначения. Исходными будут являться соотношения между

векторами реперов:

 

с

 

г 4- ре

3 ,

 

 

г

=

 

 

с

 

$ех + sin

 

 

е, =

cos

fte2,

с

 

 

 

 

(137)

— — sin fte, +

 

$е2,

е2

cos

с

Беря дифференциалы этих соотношений и применяя соответ­ ствующие деривационные формулы, получаем формулы пере­ хода:

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш з — t 0 3 c o s

^ ~~w » s i n *К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i»l

= w\ sin ft +

w-t

cos

 

ft,

 

(138)

 

 

 

с

 

 

 

с

с

 

 

 

 

 

с

 

 

 

со1

=

со1

cos

1) — о)J (^г sin & +

pcos ft) 4- pcu2 sin

ft,

(139)

 

 

 

 

 

 

$2

cos

ft-sin

ft

=

0,

 

 

 

(140)

 

 

 

 

 

 

42

=

42 +

p t g » ,

 

 

 

 

(141)

 

 

 

 

 

 

 

= 4 2 t g » - p ,

 

 

 

 

 

(142)

 

 

 

 

 

 

^з +

Pi

= 2^3

 

cos

 

 

 

 

 

(143)

Ъ

+

p2

=

1 f —

1- 4 sinft)4- ъ

cos ft -

; 3 sin

ft,

(144)

 

 

 

 

 

cos ft

'

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

C3 +

Рз =

14 Ig ft + 4 sin ft +

C3

cos 8,

 

 

(145)

 

 

 

 

 

 

4-&2 = 2&,cos&,

 

 

 

 

(146)

ra

4-ft2

=

i

I —

H , ) s i n

 

» +

i

cos

ft-;,

sin

ft,

(147)

 

 

 

 

 

\ cos

ft

/

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

4- &2 = ltf2

tg ft 4-

4t sin ft + 1 , cos

ft,

 

(148)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gfp = ptto1

4-P2°4 + Р а ш з .

 

 

 

( 1 4 У >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

201

 

db =

0, со1 +

&2<D» + f V»'-

(150)

Здесь нужно

подчеркнуть,

что

наши

рассуждения теря-

 

 

Ь =

• т

 

 

 

 

ют смысл

при

— , так как

тогда

в силу соотношений

 

 

 

2.

 

 

'

 

(139), (138)

формы

ш1, со1,

cojj

становятся

линейно зависимы­

ми. Это означает, что не существует нецилиндрической кон­ груэнции, одна из фокальных плоскостей которой содержа­ ла бы главную нормаль комплекса. Это согласуется с фор­

мулой (101),

так

как

и там требование

(nf,

et) = 0 невы-

 

 

с

 

 

 

 

полнимо при

т]2 Ф- 0,

т. е. для комплексов

с отличной от нуля

 

 

 

 

с

 

 

кривизной

(о

комплексах У\-, = 0 см. ниже,

§ 12). Поэтому в

следующих

после

(139) формулах мы и вводим tg f>. В то же

время эти формулы еще раз подтверждают, что уравнением (124) можно задать любую неэллиптическую нецилиндри­ ческую конгруэнцию.

Из формулы (139) можно получить связь наших инвари­ антов неголономной конгруэнции с введенными в § 5 эксцен­ триситетом е и коанормальностью / . Так как уравнение со1 = О дает

ш1 = ш1

(C TJ2 tg 0

+ р)

- *\ Р tg !>,

(151)

то сравнение с (86) сразу

дает:

 

 

<*= y ( P

+

W f > ) ,

(152)

 

-/ =

- p t g » .

 

(153)

Из других следствий формул перехода отметим

следующие

 

ft =

arctgS2,

 

(154)

 

Ч э 5 2 - * а

 

( 1 5 5 )

^ =

\-7Т,(ъ

+

*™У

( 1 5 6 )

 

1 +

^2

 

 

 

Отсюда, в частности, видно, что „натуральное уравнение"

 

Ъ + ЪЪ = 0

(157)

не определяет

никакого

подмногообразия. Точно так

же и

системы вида

щ = С2 — 0

или 12 = т)2 = 0 не определяют ни-

 

с

 

 

какого 'Ь2 в комплексе щ ф 0.

Формулы перехода всегда дают возможность решить воп­ рос о существовании подмногообразий W2, заданных натураль­ ными уравнениями, в произвольных комплексах или в комп-

лексах определенного класса. Они показывают, в частности, что все неголономные конгруэнции, отмеченные в предыдущем параграфе, существуют в произвольном, комплексе. Более то­ го, присоединение к любому из рассмотренных в § 7 нату­ ральных уравнений условия голономности (136) также не приводит к соотношениям, содержащим только инварианты комплекса. Следовательно, в произвольном комплексе имеют­ ся и голономные конгруэнции всех отмеченных в § 7 классов.

§ 9. Сопряженные подмногообразия

Вернемся к диаграмме Циндлера (см. § 5), на которой регулюсы и неголономные конгруэнции, проходящие через луч комплекса, изображались точками и прямыми проектив­ ной плоскости. Мы отметили две инвариантные кривые вто­ рого порядка: кривую (76), точкам которой соответствуют торсы, и кривую (79), точкам которой соответствуют цент­ рально соприкасающиеся регулюсы. Следует ожидать, что полярная сопряженность относительно этих кривых должна определять некоторую сопряженность между подмногообразия­ ми xVi и X F2 комплекса, которая, по-видимому, может быть геометрически истолкована в рамках теории комплексов.

Два регулюса: (со1,

со'з,

со23) и (со1, оа'з, <в23)

будем назы­

вать сопряженными*),

если

соответствующие им

на диаграм­

ме точки полярно сопряжены относительно кривой второго порядка

ф ( = , 0,1(0» _ ( „2 0 ) 1 = 0,

(76)

точки которой соответствуют торсам комплекса. Условие со­

пряженности указанных регулюсов имеет

вид

 

 

 

9 =

ш1ш2 +<о1 ш|. — ш2ш| — UADJ = 0 ,

(158)

или

(в

терминах

полуканонического

репера)

 

со1

(си2

_ t2 u,i ) —

( S 2 t o i 4- 2ij2 u>J +

; 2 w 2 )

fflj J -

(w1 — :,CO.I)OJ2

= 0 ,

или

(в

терминах канонического

репера):

'

(159)

 

 

 

 

 

ш'с»! — 2 т ) 2 ш Х Ч - « 1 ш з =

0.

(160)

Выясним, как связаны между собой два сопряженных регулю­ са в комплексе. Прежде всего покажем, что здесь имеет место такое же свойство, какое было установлено в § 8, гл. 2 для сопряженных регулюсов в конгруэнции: поляритет, опреде-

*) И н о г д а их н а з ы в а ю т и н в о л ю т и в н о с о п р я ж е н н ы м и [ 1 1 ] .

20?

Смотрите также файлы