Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

требуется их вычислять, то вместо критерия, вытекающего из

гов матриц коэффициентов при неизвестных в системах, воз­

В случае же существования регулярной цепи ранги соответ­

можно найти и непосредственной подстановкой (22) в си­ стему (S) и последующим решением возникающей при этом системы уравнений (вообще говоря, полилинейных) относи­ тельно X/ в поле 2. Пусть наиболее общее решение этой

*) Тогда сумма всех п + 1 характеров равна числу г «искомых» пере­ менных z j .

ляются из указанной системы. Если это же наиболее общее решение может быть получено при построении регулярной цепи (20) по способу Кэлера, то вычисленное при этом по • строении число Картана Q, равное числу коэффициентов Кэлера X), оставшихся нефиксированными, должно быть равно N, т. е. должно быть

vV= Q.

Если же общее решение достижимо по способу Кэлера толь­ ко нерегулярной цепью, то это означает, что по крайней мере на одном этапе (скажем, на р-м) придется наложить допол­ нительные соотношения на предыдущие коэффициенты Кэле­ ра (Xj , q<.p), которые при формальном (т. е. без учета этих соотношений) вычислении числа Картана Q по формуле (21) будут считаться произвольными. Таким образом, в этом случае получится

Q>N.

Отсюда следует Т е о р е м а К а р т а н а . Решение

системы (S) внешних алгебраических уравнений с выделен­ ными переменными может быть получено построением регу­ лярной цепи по способу Кэлера только при

ными при нахождении решения путем непосредственной подстановки выражений (22) в систему (S), a Q = $,-}-2s2 +

Нnsn, где

34

ным, так как такую цепь можно искать не только способом Кэлера, но и более общим способом — так, как указано в предыдущем параграфе. Вместо этого можно предвари­ тельно сделать самую общую замену независимых пере­ менных:

и, считая at произвольными элементами поля £2, произво­ дить построение способом Кэлера. Если и тогда, т. е. при произвольных а г , удовлетворяющих неравенству (24), кри­ терий Картана (или Кэлера) даст отрицательный ответ, то мы можем утверждать, что поставленная в начале параграфа задача не имеет решения, т. е. предложенная система с вы­ деленными переменными не является «системой в инволюции».

На практике вместо общей замены (24) достаточно иногда сделать какую-либо частную замену простого вида, чтобы избежать возникновения «дополнительных» соотношений на предыдущие коэффициенты Кэлера и найти регулярную цепь решений.

С другой стороны, в некоторых случаях доказательство неинволютивности системы можно провести, не производя общей замены базиса, а вычислив лишь один первый харак­ тер и найдя произвол N наиболее общего решения. Для этого достаточно придать одному (или нескольким, с учетом заме­ чания о невозрастании характеров для квадратичных систем

— см. § 6), следующему за найденным, характеру максималь­ ное значение, остальные принять равными нулю и вычислить

§ 8. Стандартные квадратичные системы

Для применения к теории дифференциальных уравнений особенно важны квадратичные системы, т. е. системы с выде­ ленными переменными, линейные относительно векторов, при­ надлежащих пространству Л 2Е • К исследованию таких сис-

г + п

тем мы и переходим.

Рассмотрим простейший пример — систему

\ztx2\ = a [Х|Х2 ],

Р= 1,2, 3,

где

4 = г'р

Предположим, что векторы z\, z\, z\ и z\ образуют базис подпространства Е. Положив по способу Кэлера

4

т. е. чтобы векторы г] можно было включить в базис (век­

37