Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

поставленной задачи на математическое ожидание этой функции

При идентификации объектов управления в большинстве прак­ тических случаев ищется оптимальный оператор по критерию минимума средней квадратической ошибки, т. е. принимают

Р [Уи У*] = ІУі — У*)2-

Тогда из условия (1-1-2) получим следующее уравнение для опреде­ ления оптимальной в смысле минимума среднего квадрата ошибки оценки оператора At:

ского ожидания, т. е. регрессия выходной переменной у (t) отно­ сительно входной X (t) дает оптимальный оператор объекта в клас­ се всех возможных операторов.

В нашедших широкое развитие статистических методах иден­

18

Весовая функция g (t, s) определяется из интегрального урав­ нения

Kyx(t,v)= jj g(t,s)Kxs(s,v)ds, t-T

здесь T — интервал наблюдения.

В частном случае, когда функции х (t) и у (t) являются ста­ ционарными и стационарносвязанными, оптимальная оценка опе­ ратора А * может быть определена из уравнения

Кѵ х {%) = А ' К х х (t — х),

весовая функция (при бесконечном интервале наблюдения) — из интегрального уравнения Винера — Хопфа

Как было показано выше, задачей идентификации является опре­ деление оператора Dt объекта или, иными словами, математиче­ ской модели объекта.

Первый простейший метод идентификации применялся Ро­ бинсоном (1968) для получения передаточной функции при иссле­ довании глазодвигательного аппарата (см.- главу II1-5). Ко второ­ му направлению идентификационных задач, основанному на тео­ рии квазилинеаризации, можно отнести идентификационную про­ цедуру, разработанную Р. Беллманом применительно к процессам метаболизма и кровообращения (см. главу Ш - 2) .

19

Глава 1-2

ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО У П Р А В Л Е Н И Я

Определение динамических характеристик объекта (его ма­ тематической модели) является первым этапом исследования си­ стемы.

Однако, как известно, динамическая система включает в себя не только объект, н о й управляющее устройство, устройство обрат­ ной связи и т. д.

Исследованию динамики биологических систем регулирования методами классической теории автоматического управления по­ священо значительное количество работ, среди которых можно отметить монографию Ф. Гродинза (1966).

Останавливаться подробно на этом направлении в рамках настоящей книги не представляется возможным.

Пусть в результате решения задачи идентификации математи­

где X — регулируемая величина (координата пространства со­ стояний); и — управляющее воздействие или управление; t — время.

к качеству, представляется серьезной самостоятельной задачей, основные аспекты которой рассмотрены ниже. Теперь мы подошли вплотную к формулировке основной задачи теории оптимальных систем (Фельдбаум, 1963).

Пусть существует динамическая система, математическая мо­ дель которой (1-2-1).

Положение управления характеризуется точками некоторой области управления U, которая определяется любым множеством

20

В зависимости от характера поставленной задачи на управле­

для которого функционал, характеризующий требования к каче­ ству, принимает экстремальное значение

J = ^f(x(t),u(t))dt.

и

Таким образом, для решения оптимальной задачи необходимо:

—получить математическую модель;

—выбрать функционал, характеризующий требования к ка­ честву системы,

—выбрать граничные условия,

—выбрать подходящий метод теории оптимальных систем. Выбор критериев качества определяется целями управления,

зависящими от конкретного класса систем. Эти проблемы не рас­ сматриваются в теории оптимальных систем, но мы здесь на них кратко остановимся.

Цель управления можно рассматривать как достижение эк­ стремума некоторой величины /-критерия оптимальности.

В общем случае критерий оптимальности зависит от ряда па­ раметров:

—задающего воздействия,

—выходной величины,

—внешнего воздействия,

—управления,

—времени.

Аналитическая форма записи критерия оптимальности представ­ ляет собой функционал. Наиболее общий вид функционала

/ {х*, X, z, и, t) = min.

21