Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Системы (6.7), (6.8) и (6.10) на интервале tj_y sg t ^ t- аппрок­ симируют системы уравнений (5.14). Далее, на интервале tj ^ t ^

^tj +1 снова решаются эти же три задачи, но в обратном порядке. Переходим теперь к численному решению сформулированных

Рассмотрим теперь задачу (6.8)—(6.10). Четвертое из уравнений системы (6.8) позволяет ввести функцию тока ф2 соотношениями

Пользуясь тремя последними соотношениями и исключая все неиз­

вестные величины из (6.8), за исключением ф£-'/> и р/-І/2, после несложных выкладок, получйм систему уравнений:

86

Уту систему уравнений сведем к одному уравнению для функции тока

У = Уі-

После того, как решение задачи (6.16)—(6.17) найдено, искомые компоненты решения и', ѵ', Т1 и S' получим с помощью соотноше­ ний:

Ц = —ѴтФІ' 1/2 — U/-1,

4 = ѵ і - \

Тогда аналогично предыдущему приходим к задаче для функции

из ~ и з 1г

87

(6. 22)

Таким образом, алгоритм решения задачи об адаптации сформули­ рован полностью.

Необходимо отметить, что алгоритм решения задач динамики океана совсем не предполагает, что Н — const. Например, можно предположить, что функция Н (х, у) была бы кусочно-постоянной. Это обстоятельство позволяет ставить и решать задачи об океаниче­ ских циркуляциях с учетом рельефа дна. Однако следует помнить, что в этом случае теорема единственности решения задачи не дока­ зана. Если единственность решения задачи предположить, то алго­ ритм позволяет осуществлять решение такой задачи. Более того, в задачах с неоднородной глубиной дна можно пользоваться линей­ ной интерполяцией рельефа, ставя для точек дна условие равенства нулю нормальной составляющей вектора скорости (условие обте­ кания). Что касается компонентов и1, ѵ- и w1на поверхности Н (х,у), необходимых для решения уравнений переноса субстанций, то они могут быть найдены тем же путем, что и в случае кусочно-постоянной аппроксимации рельефа, — через функции тока. Задача постановки граничных условий упрощается при учете вертикального и гори­ зонтального макротурбулентного обмена. В этом случае на твердой поверхности можно поставить условие «прилипания» (и = 0, ѵ = 0).

В заключение рассмотрим случай, когда глубина океана пред­ полагается постоянной (Н = const). В этом случае баротропная составляющая задачи адаптации рассчитывается на основе изло­ женного выше алгоритма и трудностей в расчетах не представляет. Сосредоточим наше внимание на расчетах более сложной бароклннной составляющей задачи адаптации. Для этой цели воспользуемся

где ап — нормировочная константа.

88

Решение задач будем искать в виде рядов

¥

ип

¥

■= 2п ' Ѵп¥ Zn

Рп>

wn

¥

т VmZn. J п

¥

Sn

В результате нетрудно прийти к задачам для коэффициентов Фурье, соответствующих схемам расщепления (6.7), (6.8)—(6.9), [(6.10)— (6.11). Тогда задача (6.7) перейдет в следующую:

4 - 4 -1 f Z i4 + ^ - 1 = 0i

89

Задача (6.10)—(6.11) переходит в

* . * . и'з = і4“\

1

^ і ѵ Ы ~ 1/2 = о,

р

Ы _,/*+ ^ («гП ^ 2- а8& ' и) = 0,

систем уравнений (6.26)—(6.27), (6.28)—(6.29), то они для коэффи­ циентов Фурье оказываются «одномерными», т. е. зависящими только от одного индекса, либо к, либо I, где один из них присутствует только параметрически. Сводя эти разностные уравнения к уравне­ ниям для функций тока, приходим к задачам, соответствующим

<6.16) и (6.20):

Задачи (6.31) и (6.33) решаются методом факторизации.

90