Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Для решения задачи (2.17)—(2.20) сначала проведем аппрокси­ мацию по пространственным переменным. С этой целью область D

где хр — любая из координат {xk, yt, zm}. Эти операторы связаны зависимостью

ѴрФ = Ѵр-іФ-

Рассмотрим теперь следующую аппроксимацию задачи (2.17)—

(2.20):

— Plv + vtp= °*

P-jr + Plu + ViP = 0’

VmP — g (а тТ + asS) = 0,

Vft“ + ѴГу + VmW = 0,

при условии, что нормальные к границе dD компоненты вектора скорости в точках дDh обращаются в нуль, т. е.

Здесь и в дальнейшем индекс «2» при компонентах решения будем опускать.

Изучим теперь свойства решений задачи (5.1), (5.2). С этой целью прежде всего умножим уравнения системы (5.1) соответственно на u8D +, v8D +, w8D +, p8D~, T8D +, S8D +, где

6£>+ = Aaifi/, AyM//Az*+,/s,

[6Z?- = AaU/JAp,../, A4_./„

результат сложим и просуммируем по всем индексам из Dh с учетом условий (5.2). Тогда нетрудно получить

76

Здесь вектор-функция ф — решение задачи (5.1), (5.2), с компо­ нентами {и, V, w, р, Т, 5} в точках Dh, а В — матрица, определен­ ная в (2.4). К сожалению, скалярное произведение в (5.3) определено несколько иначе, чем при изучении разностных уравнений в (4.6), а именно в настоящем случае имеем

Если область D покрыта равномерной сеткой по Дж, Ay и Az, то определения скалярных произведений (4.5) и (5.4) совпадают друг с другом. И в этом случае мы имеем дело с согласованными скалярными произведениями для всех этапов расщепления задачи. Однако на неравномерных сетках эти скалярные произведения оста­ ются слегка несогласованными. Но в этом случае различие между значениями скалярных произведений при уменьшении шагов сетки стирается. И именно в смысле такого асимптотического подхода мы будем понимать согласование двух таких определений.

Переходим теперь к методу решения задачи (5.1). (5.2), при соот­ ветствующих начальных условиях.

С этой целью, прежде всего из задачи (5.1), (5.2), выделим баротропную составляющую решения. В соответствии с анализом, про­ веденным выше, положим

и— и + и',

ѵ= ѵ-\-ѵ\ w = w\

Р= Р + Р \

Т= Г ,

77

и бароклинной

восновном продиктовано физическими соображениями. Известно, например, что при изучении крупномасштабных процессов в океане

вбаротропной составляющей сила Кориолиса уравновешивается силой барического градиента, т. е. приближенно вдали от экватора имеет место

р дУ

Далее, в достаточно большой области океана параметр Корио­ лиса можно считать величиной постоянной. Тогда легко убедиться,

что компоненты и и у из (5.10) удовлетворяют уравнению нераз­ рывности

А это значит, что процессы, описывающие баротропную составляющую поля, настолько хорошо сбалансированы, что их невозможно разор­ вать (расщепить). Следовательно, здесь мы уже пришли к такой элементарной задаче, дальнейшее расщепление которой уже нецеле­ сообразно. Рассмотрим теперь определения бароклинной составля­ ющей динамики, описываемой задачей (5.8), (5.9). После выделения баротропной компоненты связь между отдельными компонентами процесса проявляется не так жестко, как в рассмотренном случае. Например, в уравнении неразрывности компоненты и уГн пере­ стают играть исключительную ролъ. Оказывается, что каждый из этих членов теперь имеет такой же порядок, что и у^ш. Это обстоя­ тельство открывает новые возможности к дальнейшему расщеплению нашей задачи.

78

Однако сначала покажем, что при точном разделении задачи на две энергетическое уравнение (5.3) не нарушается. В самом деле, введем в рассмотрение векторы

Составим далее выражение для функционала

(£<р, ф) = (Вц>, ф) + (Яф, ф*) + (5ф', ф) + (5ф', ф*).

Поскольку

(Дф,ф') = 0, (ЯФ\ ф) = 0,

то

79

Тогда сформулированные выше задачи, являющиеся компонен­ тами расщепленной задачи адаптации, формально запишутся в сле­ дующем виде.

К сожалению, операторы А 2>1, А 2<2 и A 2t3 некоммутативны, поэтому для решения задачи (5.13) мы введем в рассмотрение двух­ циклический метод покомпонентного расщепления.

На интервале £/_і ^ t ^ tj

80