Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Аналогично тому, как был проведен анализ задачи (5.1)—(5.2), нетрудно показать, что имеет место соотношение

КА %, осф> ф) = °

и, следовательно, для каждой из задач (5.14)—(5.15) выполняется соотношение

р» ч»)“ 0

или

характеризующее выполнение закона сохранения полной энергии системы.

Теоретическое обоснование возможности такого расщепления уравнения адаптации следует из анализа эволюционной задачи (3.24)—(3.26), которая поддается расщеплению (согласно общей теории) на такие составные части, которые порождают задачи (5.14)— (5.15).

Задачи (5.14)—(5.15) запишем в покомпонентном виде. С этой целью задачу (5.1) на интервале tj . 1 ^ t =5 £;- расщепим сначала по физическим процессам

Здесь и всюду в дальнейшем штрихи у компонентов бароклинного решения радипростоты будемопускать и, считая задачу адапта­ ции вкачествесамостоятельного объекта исследования, введем

индексацию, которая не связана с ранее используемыми обозначе­ ниями в общей схеме расщепления задачи (2.1)—(2.3).

Далее на этом же интервале решаются две задачи. Первая задача

82

именно сначала решается уравнение, аналогичное (5.23) относи­ тельно функций ф4 с начальными условиями

затем уравнения (5.20) относительно новой неизвестной функции ф5 с начальными условиями

Вці = 5ф'+1

и, наконец, заканчивается цикл вычислений — находятся функции фв, соответствующие уравнению (5.18) и начальным условиям

В<РІ= Щ п -

Алгоритм можно сократить, объединяя третий и четвертый шаги расщепления и решая одну задачу на интервале t tj +1.

Поскольку операторы каждой из рассмотренных выше задач удовлетворяют условиям

(^2.аф, ф) = 0 ( а = 1, 2, 3),

то в результате последовательного исключения промежуточных зна­ чений приходим к условию

(Яф"'+\ ф'/+1) = ( Ѵ 1, Ф,/_1)-

Учтем далее, что имеет место аналогичное тождество

Для построения временной аппроксимации элементарных задач, связанных с решением уравнений адаптации, воспользуемся схе­ мами Кранка—Николсона, обеспечивающими второй порядок ап­ проксимации по времени.

Сначала рассмотрим задачу об эволюции баротропной составля­ ющей решения (5.6)—(5.7). Аппроксимируем эту задачу следующей:4

при условии

= 0 на dDh.

Здесь рі — также неизвестная величина. Третье из уравнений (6.1) позволяет ввести в рассмотрение разностный аналог функции тока q> по формулам

Подействуем теперь на первое уравнение системы оператором yj*-, а на второе — и вычтем одно из другого. Тогда приходим к уравнению для функции тока

yf (ѴГ^О ѴІ (ѴьФО т- * Ivf (^ Ф )' — Vfe (гѴГ'Ф)/] = ѴІ«'“1 — ytui-1. (6.4)

При Ал: — 0 и Аг/ -►0 выражение в квадратных скобках может быть аппроксимировано следующим образом:

Условием, эквивалентным uj, = 0 на ЗПЛ, очевидно, будет тре­ бование, что граница области dDh является функцией тока, т. е.

Итак, задача о баротропном состоянии океана на каждом интер­ вале свелась к задаче Дирихле для уравнения, главной частью которого является разностный аналог уравнения Лапласа.

После того, как задача (6.5)—(6.6) решена, с помощью соотноше­ ний (6.2) находятся искомые компоненты вектора скорости

и1'1 и ѵі+1,

которые после решения бароклинной задачи должны быть добавлены к последней для нахождения полных составляющих вектора ско­ рости при решении всей задачи динамики.

84

Переходим теперь к формулировке задачи адаптации для" бароклинной составляющей решения, описываемой системами уравнений (5.14) и (5.15). Используя схему Кранка—Николсона, для первой задачи (5.14) получим разностную аппроксимацию вида

Начальными данными (при t — tj_2) для задачи (6.7) будет ре­ шение задачи (4.10), которое переобозначим, записав

цІ-і = и/-і, ^-1 = ^ - 1, 77-1 = Г/-!, б}'1 = S'-1.

Следующая элементарная задача редуцируется к разностной:

4—4гх= о,

4 -4 ~ 1 . + 1 ѵіУз' / ’- о.

85