Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Заметим, что для ^ мы использовали разложения

После того как величины а)/-1' 2 найдены, подсчитываются все необходимые компоненты решения задачи адаптации.

Если мы хотим решение задачи проводить с большим временным шагом т (порядка нескольких часов или суток), то в этом случае алгоритм расщепления уравнений адаптации должен быть заменен прямым решением разностной задачи адаптации на основе итера­ ционных методов. Этот алгоритм мы рассмотрим на примере уравне­ ний прогноза погоды в следующей главе.

3.7. В Ы БО Р ПАРАМ ЕТРОВ АПП РОКСИМ А Ц ИИ В ПРОСТЕЙШ ЕЙ М ОДЕЛИ

Параметры аппроксимации т, Ах, Ар и Az в задаче динамики океана (по крайней мере для равномерной сетки) необходимо выбрать так, чтобы обеспечить требуемую точность в решении не только по по­ рядку величины погрешности, но и по абсолютной величине. Как неоднократно отмечалось выше, изложенный вычислительный алго­ ритм позволяет получить решение задачи с точностью до величины второго порядка по т и Ах, Ау, Az. Поскольку, однако, эти параметры размерны, то из данного утверждения только следует, что при т -> О, Ах 0, Ау 0 и Az -*■ 0 погрешность будет убывать квадратично. Однако для целей практических вычислений необходимо иметь такой алгоритм выбора указанных параметров, чтобы обеспечить необходимую точность в решении задачи. Известно, что наибольшая точность в решении задачи нужна на этапе рассмотрения уравнений адаптации, поскольку эти уравнения описывают быстропротекающие процессы типа внутренних гравитационных волн.

Вопрос аппроксимации в такой трактовке легче всего решается на основе изучения модельных задач, одну из которых мы и рас­ смотрим ниже.

Предположим, что область D представляет собой параллелепи­

где dD™ — совокупность точек при фиксировании у = Уі, а dD ^ — при X = х к .

91

Y I — УI Sin — ~ -

тде ß*' и уI- — нормированные константы.

Тогда решение системы уравнений адаптации (5.1) и расщеплен­ ных систем будем искать в виде рядов Фурье следующей конструк­

Здесь n — обобщенный индекс суммирования, сводящий сумми­ рование по трем индексам к одному.

Соотношения (7.3)—(7.4) подставим в уравнение (5.1) и после

•очевидных операций приходим к уравнениям для коэффициентов Фурье:

92

Здесь мы отбросили индекс п как несущественный и положили 1 = 0, поскольку движения, порождаемые силой Кориолиса, имеют зна­ чительно больший характерный масштаб времени, чем масштаб времени для внутренних гравитационных волн. Это значит, что при хорошей аппроксимации (во времени) бароклинных эффектов, урав­

нения движения с учетом сил Кориолиса будут описаны еще более точно.

*

Это значит, что для р имеем начальные данные:

Следуя схеме расщепления (6.8)—(6.9) и (6.10)—(6.11), мы при­

93

Эти уравнения необходимо решить при условиях (7.8). В результате будем иметь

функцией (7.10). Это выражение и будет характеризовать меру отно­ сительной ошибки в решении. Очевидно, близость приближенного решения (7.13), полученного с помощью метода расщепления, к точ­ ному (7.10) будет зависеть от малости безразмерных параметров

Предположим, что эти параметры достаточно малы. Тогда выражение

мере с точностью до величин второго порядка включительно по от­

FА Р

—скорость распространения бароклинных волн.

94