Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

с учетом формулы Гаусса—Остроградского и однородных граничных условий на ст, а также с учетом того факта, что

Переходим к рассмотрению более полной модели динамики оке­ ана, учитывающей силы турбулентного трения в уравнениях дви­ жения. В этом случае задача (2.4), (2.5) переходит в более полную

Существенным отличием данной постановки от простейшей рассмотренной в 4.2, является йаличие в поле течений, описывае­ мых данной моделью, баротропной составляющей. В самом деле, решение системы (3.1) будем искать в виде

и -= и и' ,

V = V -L ѵ",

106

где и, V функции только переменных х и у, описывающие баротропную составляющую поля течений в океане, а величины со штри­ хами — отклонение от баротропной циркуляции. Заметим, что по своему определению имеют место соотношения вида

Для получения уравнений баротропного течения рассмотрим первые два и предпоследнее из уравнений системы (3.1)

Выражения (3.3) подставим в (3.5). Результат проинтегрируем по z в пределах 0 ^ z ^ Я, используя условия (3.4) и граничные соот­ ношения (3.6). В результате будем иметь

Здесь штрихами отмечены компоненты вектора скорости, принадле­

107

Теперь, в отличие от предыдущей модели, задача будет определять

Здесь мы воспользовались тем фактом, что на свободной поверх­ ности океана бароклинная составляющая давления р' = 0, а на дне w' = 0. Как было показано выше, условия w' = 0 и р' = 0 на по­ верхности океана (г = 0) являются эквивалентными. Подставляя выражения (3.11) в систему уравнений (3.9), (3.10), приходим к окон­ чательной форме для линеаризированной задачи динамики бароклинного океана:

108

Принципиальная схема решения задачи (3.7), (3.7') и (3.9), (3.10) такова: сначала решается задача для бароклинной составля­ ющей динамики океана (3.9), (3.10), а затем находится баротропная составляющая на основе решения задачи (3.7), (3.7').

Методами, изложенными выше, можно показать, что решение

в предыдущем параграфе модели, баротропная составляющая дина­ мики под влиянием напряжения ветра на свободной границе и тре­ ния о дно здесь будет отлична от нуля. Аналогичным образом дока­ зывается единственность решения бароклинной составляющей ди­ намики, определяемой эквивалентной задачей (3.12), (3.13). Следует только учесть, что при доказательстве единственности последней задачи методами, изложенными выше, мы приходим к квадратичному функционалу

1 1 1 {f1 (grad2 ц' + grad2 ^ + v [ ( ■ ) :2+ (■^ r ) 2] + 7 Г s rad2 P' -

(3.14)

Поскольку имеют место условия (3.4), то выражения в правой части (3.14) обращается в нуль и мы снова приходим к квадратич­ ному функционалу, из которого следует единственность решения бароклинной составляющей решения задачи.

В заключение отметим, что наряду с условиями

и* = 0, г>* = 0 при z = H

109