Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

4.5. И ТЕРА Ц И О Н Н Ы Е ПРОЦЕССЫ РЕШ Е Н И Я РА ЗНО СТН Ы Х У РА В Н ЕН И Й Д И Н А М И КИ Д Л Я БАРОТРОПНОЙ СОСТАВЛЯЮ Щ ЕЙ

Поскольку задача (4.1) является частным случаем задачи (4.5), (4.6), то сосредоточим внимание на решении этой более общей за­ дачи. Сначала рассмотрим задачу (4.5) и запишем ее в векторно­ матричной форме. С этой целью введем в рассмотрение матрицу и векторы

Тогда приходим к системе уравнений

Следует помнить, что ф и / зависят от к и I и операторное уравне­ ние (5.1) является на самом деле совокупностью систем линейных Уравнений для всех к и I. Введем в рассмотрение пространство элементов ф со скалярным произведением

где а, Ъ— некоторые два элемента, принадлежащие множеству {ф}. Нетрудно проверить, что в данной матрице имеет место положитель­ ность оператора А, т. е.

Это значит, что для решения уравнения (5.1) можно воспользоваться различными итерационными методами. Поскольку спектр опе­ ратора А в присутствии силы Кориолиса оказывается комплексным, то для решения уравнения (5.1) неприменим ни метод чебышевского ускорения, ни метод верхней релаксации. Наиболее естественно воспользоваться методом минимальных невязок в форііе

Здесь I/ — невязка итерационного процесса, определяемая соот­ ношением

Необходимо, однако, помнить, что задача (5.1) дает решение

единственное с точностью до р = const. Это значит, что после каж­ дой итерации по схеме (5.3) необходимо производить ортогонали-

Следует, однако, отметить, что сходимость итерационного про­ цесса (5.3) оказывается медленной, поэтому мы рассмотрим другой процесс, который является значительно более эффективным. Для того чтобы сформулировать этот процесс, необходимо несколько пре­ образовать исходные уравнения. С этой целью с помощью третьего

Далее, на первое из уравнений системы (5.1) подействуем оператором At, на второе — оператором At, вычтем одно выражение из дру­ гого и воспользуемся соотношением (5.6). Тогда приходим к урав­ нению для разностной функции тока

При такой редукции, кроме того, использовались два факта. Во-пер­ вых, предполагалось, что имеет место условие

являющееся следствием условий «прилипания» и (5.6). Во-вторых, при написании уравнения (5.7) было предложено, что выражения Акит и А;г; определены не только во всех внутренних точках области Dnr но и во всех граничных. Это^ оказывается, сделать возможно при условии нечетного продолжения функций и и ѵ на один шаг вне области Dh.

Уравнение (5.7) запишем в операторной форме

116

Если элементы а и &удовлетворяют условию (5.9), то имеют место’ легкопроверяемые соотношения

из которого непосредственно следует положительность разностногооператора А , т. е.

(Лф, tJ?)> 0.

Для решения уравнения (5.10) итерационный процесс метода

сходится уже гораздо быстрее, чем процесс (5.3), (5.4)

Для ускорения сходимости метода (5.17) целесообразно исполь­ зовать метод универсального алгоритма в следующей форме. Рас­ смотрим спектральную задачу

11Т

С помощью итерационного метода Люстерника найдем максималь­ ное ß и минимальное а (—AJ;1*) собственные числа задачи (5.20). После этого предложим следующую конструкцию итерационного процесса:

где

В = (Е -оА Ъ 1) ( Е - о А \’1),

Относительно а можно сделать следующее замечание. Итера­ ционная схема (5.21) слабо чувствительна к а, поэтому вместо точ­ ных значений границ спектра а и ß спектральной задачи (5.20) мы рассмотрим приближенные значения, полученные следующим об­ разом. Область определения решения вписывается в прямоуголь­ ник со сторонами о и б и вместо задачи (5.20) с реальной областью определения рассмотрим спектральную задачу, но уже с областью определения в форме прямоугольника. Тогда вместо а и ß найдем со­

ответствующие границы спектра а и ß для прямоугольника. Они находятся просто

8

ß= Л2 *

иэти значения можно принять для приближенного определения о

а = — ~- “Ь _

2п■V2 (o2-j- &2)

После этого задача подготовлена к решению на каждом итера ционном шаге с помощью метода быстрого преобразования Фурье2.

118

4 .6 . РЕШ ЕН И Е РА ЗНО СТН Ы Х У РА В Н ЕН И Й Д Л Я БА РО К Л И Н Н О Й СОСТАВЛЯЮ Щ ЕЙ ДИ Н А М И КИ ОКЕА НА

Перейдем теперь к рассмотрению бароклинной составляющей,, определяемой системой разностных уравнений (4.7), для чего введем в рассмотрение разностный оператор матричного вида и векторы

Тогда задача (4.7) запишется в операторной форме

Скалярное произведение определим следующим образом:

Вследствие положительной определенности оператора А решение задачи (6.1) будем находить с помощью метода минимальных невязок в форме (5.3), (5.4), сходимость которого обеспечена. Однако метод последовательных приближений можно ускорить, если рассмотреть более общий итерационный процесс. С этой целью сначала рас­ смотрим три спектральные задачи:

119>