Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

в точке х0, где она равна ф0 = а. Тогда естественной аппроксимацией производной будет

априорной информации о граничных условиях, которым удовлетво­

111

где

Если на одном конце интервала а; = жо задано условие Дирихле

ф (хо) = а, а на другом — условие Неймана ^2 = Ь при х =

— x’k*, то разностная аппроксимация второй производной примет вид

и при других комбинациях граничных условий. Поясним здесь лишь некоторые принципы и обозначения, связанные с такими аппроксимациями. Нижний индекс к указывает на аппроксимацию по координате х на сетке {xk}. Аналогичные аппроксимации узло­ вых производных по у и г будут отмечаться индексами I и т соот­ ветственно. Верхние индексы обозначают тип краевой задачи в по­ рядке возрастания индекса. Так, индексом 1 отмечается граничное условие Дирихле (условие первого рода), а индексом 2 — условие Неймана (условие второго рода). Отметим, что если разностная

В заключение важно условиться о том, что неоднородные гра­ ничные условия при переходе от дифференциальных выражений к раз­ ностным приводят к появлению дополнительных источников в со­ ответствующих разностных уравнениях. Не будем их описывать

№

детально, а все такие источники вместе с другими объемными источ­ никами, входящими в исходные дифференциальные уравнения, объ­ единим в виде единых для каждого уравнения сеточных функций. Это упростит наши рассмотрения и позволит сосредоточить внима­ ние на существе дела.

С учетом введенных выше обозначений задача (2.4), (2.5) в раз­ ностной форме примет вид:

Р Aft’,1;и + lv = — yip,

Р

Р A\\\iv — Zu = 4ytp,

Р

SP — VmPi

УІи + y7v + УmW= О,

где С — сеточная функция, порожденная источником у в гранич­ ных условиях. Индексы к, I и т при неизвестных для простоты опущены. Здесь и всюду в дальнейшем мы будем пользоваться сле­ дующим обозначением:

Это позволяет задачу (4.1), (4.2) упростить, исключив из рассмот­ рения величины р и w с помощью соотношений

В (4.3) и (4.4) индексом т обозначен уровень океана, для кото­ рого записана система уравнений.

Можно показать, что как задача (4.1), (4.2), так и задача (4.4) допускают единственное решение. Метод доказательства теоремы единственности принципиально ничем не отличается от рассмотрен­ ных ранее задач в дифференциальной постановке.

Рассмотрим теперь более полную модель (3.1), (3.2). Тогда для баротропной составляющей будем иметь разностный аналог задачи

(3.7), (3.7').

М+ Іѵ= — ytp -г а,

Р

ц А{ ’\ ѵ — lu — ~ y f p -j- Ъ,

где а и b — заданные сеточные функции, порождаемые источниками в уравнениях системы (3.7).

Для бароклинной составляющей получим аналог задачи (2.16), (2.17) в виде

Здесь a, 6 и с — источники, порождаемые неоднородностями в гра­ ничных условиях и уравнениях.

Сучетом выражений (4.3) систему уравнений (4.6) преобразуем

квиду

Так же как и в простейшей модели, аппроксимация в форме (4.6) или (4.7) не нарушает определенности соответствующих операторов и гарантирует единственность решения задачи.

114