Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 1
М р 4-ѵі -^!г = Д(р), |
(9.1) |
|
где R — оператор вида |
|
|
|
z |
|
а ф — любая из функций |
н, ѵ, р. |
|
Граничные условия для системы (9.1) примем следующие: |
|
|
ѵі |
— Y, г^ = 0 при z = О, |
|
~ ~ = 0, и) = 0 при z= H , |
|
|
и = 0, |
г;—0, -^- = 0 на а. |
(9.2) |
Решение системы будем искать в виде
и= и - \ - и ‘,
ѵ~ ѵ + ѵ\ w — w',
р= р+ р*>
p = p -fp \ |
(9.3) |
Здесь величины, отмеченные чертой сверху, зависят только от х
и у, а ф1 — отклонения от этих значений, причем |
|
н |
|
|ф '^ г = 0, |
(9.4) |
О |
|
где ф' — любая из величин, входящих в (9.3).
Выражения (9.3) подставим в уравнения системы (9.1), проин
тегрируем и z в пределах 0 ^ |
z ==£ Н и воспользуемся соотноше |
|
ниями вида (9.4) |
и граничными условиями (9.2). Тогда приходим |
|
к уравнениям для |
баротропной |
составляющей: |
р Ай + Іѵ= 4- + R (и),
Р A y -fo = i- - ^ - + i? ( y ) ,
9 Заказ 674 |
129 |
с граничными условиями
ц = 0, V —0, -|£ .= 0 на а. |
(9.6) |
Для бароклинной составляющей получим систему уравнений вида
Z
р Аи’ — Iv' = S - I |
|
dz -f R (и) — R (и), |
|
P о |
|
|
|
|
Z |
|
|
p Ah' - lu' = 4 - |
f |
dz + R (v) - 1 Щ , |
|
p |
ö |
|
|
M iV + vx 4 S - = Ä (P) — І Щ - Ѵ - |
(9-7) |
||
К системе уравнений (9.7) присоединим граничные условия
öp' |
„ |
|
ѵі~дГ = У при 2 = 0, |
|
|
= 0 при z |
= t f , |
|
“' = 0, ü' = 0, |
= ° на а. |
(9.8) |
Если в задачах (9.5), (9.6) и (9.7), (9.8) предположить, что на чальное приближение величин 7?(ф) находится с помощью рас смотренных в предыдущих параграфах линейных задач, то можно
сформулировать следующий метод последовательных приближений. Для задачи (9.5):
р Ай" + Іѵп = 4- |
-f- Я"-1(и), |
|
рА |
+ |
|
дип |
дѵп |
|
öx |
|
|
р1Аря= Д*^(р) + ѵ |
(9.9) |
|
при условиях (9,6). |
|
|
Аналогично систему уравнений (9.7), опуская штрихи, можно привести к виду
г
Ц Ап"А- Іѵп = -І- j |
dz + ІГ-1 (ц) -І Т 1"1 |
(и), |
|
|
Р о |
|
|
|
Z |
|
|
р Ау" ~ lu n = - |
4 -^ |
dz -1- 1{п~г (у) - Rn~l (ѵ), |
|
Pi Apn -J- v1 |
|
= Л71“1(р) — /Г “1(р) — у |
(9.10> |
при условии (9.8)
Видно, что при таком определении метода последовательных приближений каждая из задач (9.9) и (9.10) на данном шаге итера ции совпадает с уже ранее рассмотренными и, следовательно, ре шается по изложенным выше алгоритмам. Необходимо лишь сделать замечание по разностной аппроксимации выражений R(ф). Такую аппроксимацию следует осуществлять в соответствии с методами, изложенными в п. 2.6.
В заключение отметим, что наибольший интерес для приложений имеет бароклинная составляющая поля. При этом обратная связь от баротропной к бароклинной составляющей так слаба, что для приближенного решения задачи можно сначала найти и', ѵ' и р7
из задачи (9.7), (9.8) в предположении, что и = ѵ = 0, р = 0,
а затем подсчитать и, ѵ, и р па основе решения задачи (9.5), (9.6). Учет вертикального турбулентного обмена в уравнениях дви
жения не нарушает изложенного подхода к решению задачи.
4.10 . П РО БЛ ЕМ А НЕСТАЦИОНАРНОЙ А ДАП ТАЦ ИИ П О Л ЕЙ Т Е Ч Е Н И Я К АТМ ОСФЕРНЫ М ВОЗМ УЩ ЕН ИЯМ
При решении задач, учитывающих взаимодействие атмосферы и океана, и прежде всего для целей прогноза погоды очень важным является определение начальных условий в океане, формируемых под непрерывным сезонным нестационарным воздействием атмосферы. Для этой цели используем следующую линейную, но уже нестаци онарную модель океана
ди |
lv — |
1 dp |
-f-р Au 4 V |
дч-и |
|||
dt |
р |
дх |
|
dz2 ’ |
|||
дѵ |
. , |
1 |
др |
|
|
д%ѵ |
|
-дГ + Ш~ |
р~~w |
-ffiAy-f- V Tz* ’ |
|||||
|
ди |
. |
дѵ . |
dw |
|
|
|
|
дх |
' |
ду |
dz |
|
|
|
|
_^£._|_Гш = р 1 Ар + Ѵі |
Ö2p |
|
(10.1) |
|||
|
dz* • |
||||||
9* |
131 |
К системе уравнений (10.1) присоединим граничные условия
ди |
, |
V ~т~ = |
— -=- f |
|
= |
^ = 0 при z = 0, |
|
dz |
Р |
V Z |
р |
Ö Z |
|
|
|
|
и = 0, |
і7 = 0, |
- ^ - = 0 , |
ш = 0 |
при z = H , |
|
|
|
|
и = 0, і7= 0, -=-■ = 0 на о. |
|
(10.2) |
|||
|
|
7 |
7 |
гі-ц |
|
|
|
Предположим, что величины тхг, хуг |
и у являются функциями |
||||||
(х, у, t) |
и находятся из диагноза атмосферных условий вблизи сво |
||||||
бодной поверхности океана. |
|
|
|
(10.2) |
|||
В качестве начальных условий для решения задачи (10.1), |
|||||||
выберем климатическое состояние океана, описываемое одной из теоретических моделей, рассмотренных в предыдущих параграфах настоящей главы. Теперь наша задача состоит в решении задачи (10.1), (10.2) при избранном начальном (климатическом) состоянии океана. Предполагая заданными ххг, хуг и у, за достаточно длитель ный срок (порядка сезона) решим задачу о формировании течений и поля плотности в океане к некоторому моменту времени.
Для решения задачи (10.1), (10.2) аппроксимируем ее по времени.
С этой целью воспользуемся |
схемой естественного фильтра1 |
||||||
|
|
|
дх |
|
|
|
dz% |
р/+1- р' -\-lul+l = |
|
дрі+і |
р. ДуНі |
v |
0 2 ц /+ 1 |
||
|
|
|
ду |
|
|
|
Öz2 |
|
дрі+1 |
|
|
|
|
||
|
|
dz |
= ёР7+1 |
|
|
|
|
|
dul*1 . |
dvl+1 . |
dwi+'1 |
|
|
|
|
Р |
дх ' |
ду |
' |
d z |
|
|
|
ГWi+1= |
Др^+1~ |
СІ2р/+1 |
(10.3) |
||||
|
|
Öz2 |
|||||
Система уравнений (10.3) решается при граничных условиях (10.2), взятых в соответствующие моменты времени. Важно отметить, что неявная схема аппроксимации уравнений в (10.3) позволяет получать абсолютно устойчивую схему расчета, автоматически филь трующую быстропротекающие процессы, несущественные для ди намики крупномасштабных процессов. После того как решение задачи (10.1), (10.2) найдено, его следует принять за начальное при решении более точной задачи о нестационарных течениях, рас смотренной в гл. 3. Решение этой задачи проводится на срок 2— 4 недели. Полученное в результате решение уже можно принять в качестве начального состояния океана для совместного решения задачи прогноза погоды в атмосфере и динамики течений в океане.
1 См. М арчук Г. И . «Численные методы в прогнозе погоды», § 4.4.
432