Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

и для каждой задачи найдем границы спектра. Пусть это будут а ь

При реализации алгоритма, как и в (5.22), параметр о можно находить с помощью более простой формулы

Ji = —/===^»

V щ • ß<

где а ; и ßt- — границы спектра соответствующих спектральных задач с областью определения параллелепипедом, описывающим D. При этом если минимальное собственное значение спектральной

задачи равно нулю, то в качестве а, следует выбрать наименьшее собственное число. Смысл введенных выше операторов С и R стано­ вится понятным из следующих рассмотрений. Наиболее существен­ ным в задаче (6.1) являются разностные аналоги операторов Лап­ ласа на классе функций, удовлетворяющих тем или иным граничным условиям. Поэтому если на соответствующий компонент решения действовать сглаживающим оператором (например, обратным к опе­ ратору Лапласа), то невязка итерационного процесса будет подав­ ляться по всей области сразу с учетом естественной для той или иной задачи области влияния.

4.7. М О ДИ Ф ИЦ И РОВАН НЫ Й И ТЕРА Ц И О Н Н Ы Й ПРОЦЕСС

Стремление к построению быстросходящихся итерационных ме­ тодов решения уравнений стимулировало появление других эффектив­ ных методов решения разностных уравнений динамики океана. В настоящем параграфе мы рассмотрим один из таких методов.

Рассмотрим сначала простейшую задачу динамики океана в форме (4.4) и ее решение будем искать с помощью следующего метода по-

120

следователышх приближений. Каждый раз сначала находится при­

ближение для плотности

7П*

m'=m+-1

а затем находятся компоненты вектора скорости

т -1

Критерии сходимости этого метода будут обсуждены в дальней­ шем, а здесь мы прежде всего рассмотрим вопросы алгоритмической реализации метода. С этой целью сначала рассмотрим задачу (7.1). Опуская индексы п и т , перепишем ее в виде

где для каждого итерационного шага величина / известна и опреде­ ляется формулой

иопределим ортогональный и нормированный базис векторов {о»?}

исоответствующий ему вещественный и неотрицательный спектр kq. Заметим, что одно из собственных чисел равно нулю. Собственная функция, соответствующая к = 0, является вектором, не завися­ щим от уровня, и несущественна для расчетов. Поэтому составля­ ющую решения, соответствующую к = 0, мы будем отбрасывать,, ортогонализируя тем самым решения к константе. Алгоритми­ чески это осуществить довольно просто. Сначала для каждой точки (хк, у/) необходимо найти среднее арифметическое р по всем уровням и из полученного вектора вычесть из каждого компо­

нента рт эту константу.

Введем теперь в рассмотрение разложения

т*

Рт= 2

<7=1

121'

Здесь pq и fq — коэффициенты Фурье разложения по ортонормированной системе собственных функций

где р — вектор с компонентами рт , а скалярное произведение опре­

делено в виде

т*

т'а 1

Спомощью (7.6) задача (7.3) сведется к набору задач для коэффи­ циентов Фурье

Найдем максимальное и минимальное собственные числа оператора

— А%\2і, которые обозначим ß (— Д|;2г) и а (—А|;2/) соответ­ ственно. Тогда минимальное и максимальное собственные числа оператора A q найдутся в форме

Имея в своем распоряжении а (Aq) и ß(H9), организуем итераци­ онный процесс

.122

на множестве векторов {ф}, среди которых ищется решение задачи (7.15). Скалярное произведение в (7.16) определяется следующим образом:

Важно отметить, что хотя разностный оператор Л положителен,, но его спектр является комплексным. Поэтому методы оптимизации итерационных процессов на основе чебышевского ускорения или верхней релаксации отпадают. Остается метод минимальных не­ вязок

Для повышения скорости сходимости итерационного метода рас смотрим комбинацию методов расщепления и минимальных невя­ зок. Пусть а (—AI’1;) и ß (—AI’1;) — границы спектра опера­ тора — AI;1;. Введем в рассмотрение матрицу

123.