Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где

Здесь мы воспользовались тем, что и к ѵ удовлетворяют уравнению

неразрывности

= 0.

Учитывая соотношения (1.4) и (1.5),

приходим к выражениям

 

 

 

 

и*

- Л

1

д

 

dx

 

 

 

 

ф* =

V* , л * =

—1

- Л

д

ду

 

 

д

д

 

ЯГф*

0

 

дх

ду

 

 

 

До сих пор предполагалось,что и и

ѵ — заданные функции х , у

и времени. Это предположение может быть теперь снято. В самом деле, предположим, что мы имеем дело с квазилинейной системой

ди .

ди

 

,

 

ди

,

,

n s

 

0,

-r- -4-и -г— \-v-z-

— lv + RT

dx

öt

'

dx

 

'

 

dy

 

 

 

 

du

,

дѵ

+

.

 

дѵ - ,

,

r,~

d(f Л

-ЗГ + u

dx

1

V-Д—+ lu -f RT

dy

= 0,

dt

'

 

 

dy

'

1

 

 

 

 

 

 

du

,

дѵ

 

 

 

( 1. 6)

 

 

 

1)х~г ~ду

 

 

 

и нашли решение этой системы при условии периодичности на гра­ нице с учетом начальных данных

и = и0, и = ѵ0 при t — 0.

(1.7)

Полученные при решении этой задачи функции и м ѵ будем рас­ сматривать в качестве коэффициентов в операторах А и А*. В резуль­ тате будем иметь

А =

А

д_

А*=-.—А,

 

JL

JL

о

дх

ду

 

где Л теперь оператор вида

И Заказ 674

161

Наряду с задачей (1.6) введем в рассмотрение сопряженную задачу

ди*

ди*

 

ди*

■ІѴ* ■

 

 

dt

дх

 

ду

дх

 

 

 

 

 

дѵ*

дѵ*

 

дѵ*

 

lu * - R T

^ f -

= О,

■U — ---------V

ду

 

dt

дх

“

 

 

ду

 

 

ди*

 

 

дѵ*

= 0

 

( 1.8)

при условии

дх

 

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

при t — Т .

(1.9)

U* = Ut,

V* = ѵ*т

Задачи (1.6), (1.7)

и (1.8),

(1.9) запишем в операторной форме.

Тогда будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В %

+ АЧ = 0,

 

 

и

Вц>= 2?ф0

при t = О

 

(1.10)

В dtp*dt

 

 

 

 

 

 

 

 

-А(р* = О,

 

 

 

B(p*=B(f>T

при t = T.

 

(1.11)

Умножим далее уравнение (1.10) скалярно на <р*, уравнение (1.11) на ер и результат вычтем. Тогда приходим к уравнению

dt

(5ф,

ф*) = 0.

(1.12)

Интегрируя это уравнение при заданных условиях при t =

0 и t =

= Т, имеем

фг)і> =

(7?ф0, фЗ)н.

(1-13)

(В((т,

Это условие нам пригодится в дальнейшем. А пока перепишем его в покомпонентной форме

J {ujUj

ѵтѴт) dD = f (u0Uo + vovo) dD.

(1.14)

ü

D

 

Следует отметить, что если в качестве и£ и ѵ? выбрать ит и ѵт, то мы приходим к закону сохранения кинетической энергии:

I E TdD — J E0dD.

D , D

В этом случае имеет место полная обратимость решения. Это значит, что, решив задачу (1.6), (1.7) и положив и? = ит, = ѵт, можно решить задачу (1.8), (1.9) в обратном направлении (по времени).

Врезультате приходим к тем же решениям основной системы, что

ипри решении основной задачи.

462

В заключение покажем, что для наших исследований иногда предпочтительно пользоваться более общим фазовым пространством D X Dt со скалярным произведением

3

 

*

fei h)DXr>t 2

J dD

J dtgihi.

1=1

D

о

Введем в рассмотрение операторы

М = В ± + А

И

М* = —в 4~ — а ,

dt

Тогда нетрудно проверить, что имеет место соотношение

(Мф, ф*Ьхи<= (ф. ^ Ѵ Ь х г , - (£фг> Фг)и + (-Вфо, ФоЬ- (1-15)

Учитывая равенство (1.13), окончательно имеем

{ M t р, Ф*)д = (фі М*ф*)вхи<,

(1-16)

где

М * = — Af.

Переходим теперь к рассмотрению системы основных уравнений с вязкостью, т. е. пусть имеем уравнения

ди .

ди ,

ди

,

 

5ф

Л

А

-г-—(- и -г— h

-я----- lv + RT

d z

— р Ди = О,

/Эг 1

дх '

ду

 

1

п

’

дѵ .

-І^ + ^ + г и + я г і І - м Д ^ о ,

 

 

 

ди

. дѵ

„

 

 

(1.17)

 

 

_d r “'- ‘d7 = U

 

 

при условии

 

 

 

 

 

w0,

w = u0

при г = 0

(1.18)

 

 

и в предположении о периодическом характере решений. Тогда методом, изложенным выше, полагая

А = и дх

А* = —и дх

приходим к системе сопряженных уравнении:

ди*

ди*

V 9f

+ІѴ*

-RT df

dt

— U —;----

дх

ду

 

 

дх

дѵ*

дѵ*

дѵ*

, *

 

 

dt

U дх

—V—----- Іи* — ИТ

ду

ду

 

 

 

 

ди*

дѵ*

• - 0

 

 

 

дх

ду

 

 

— р Au* = 0,

-— Р Al?* :=0,

(1.19)

И*

163

при условии

u*= uy, ѵ * = Ѵ т при t — T.

 

(1.20)

 

 

 

 

Анализ задач (1.17), (1.18) и (1.19), (1.20) показывает, что основ­

ная

задача

должна решаться при возрастании t в

интервале 0 sg

^ t

ss; Т,

а

сопряженная

задача — при убывании

t в

интервале

Т ^

t ^

0.

Только такой

счет будет корректным

для

каждой из

задач. Это связано с наличием в уравнениях сил вязкости. Смысл

введения

сопряженных

задач нам будет ясен в дальнейшем из

анализа

формул теории возмущений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2.

С О П РЯ Ж ЕН Н Ы Е У РА В Н ЕН И Я

 

 

 

 

 

 

Д Л Я БА РО К Л И Н Н О Й АТМОСФЕРЫ

Рассмотрим теперь модель бароклинной атмосферы в адиабати­

ческом приближении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дри

1 Aw —lpv + p

■дер

= о,

 

 

 

dt

дх

 

 

 

- £ + * * + ■ -Ри

 

дер

=0,

 

 

 

Р ду

 

 

 

 

 

 

 

 

—д<в

-= 0,

 

 

 

 

 

 

gpft-f-Р dl

 

 

 

 

дри

1

дрѵ

 

,

dpw

О

 

 

 

дх

 

1

ду

 

1

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дрб

,

Лб -f-

Уа —У рW —0

 

 

 

dt

1

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

при условии

рw = 0

при z —0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рш= 0

при z = H.

 

 

(2.2)

Решение предполагается периодическим в плоскости

(х , у) и

удовле­

творяет начальным данным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и — и0,

w=

w0, б = б 0

при t = 0.

 

(2.3)

Предположим далее,

что

RT =

const,

Уа~Гѵ =

const.

Опера­

тор А определим формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

д

-

.

 

а

-

, а

-

 

 

 

А = Ж Pu + 1^P v +1h Pw-

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aw= divpuw,

Aw = divpuw,

 

 

A6 = divpu6.

164

Смотрите также файлы