Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Введем далее в рассмотрение вектор-функцию ф — решение задачи и матрицы

Здесь предполагается, что решение принадлежит гильбертову под­ пространству абсолютно непрерывных и дифференциальных функ­ ций, удовлетворяющих граничным условиям (2.2) и предположе­ нию о периодичности. Скалярное произведение введем соотношением

(g, h)D = 1i \gfiidD . i=1 п

Рассмотрим оператор А и найдем ему сопряженный с помощью тождества Лагранжа. В результате выкладок, аналогичных рас­ смотренным выше в п. 6.1, получим

165

При построении сопряженного оператора мы воспользовались легко проверяемым фактом, что имеет место соотношение

I (и* div puu -ф- V * div pun + w* div puu?) dD =

D

= — f (u div ріш* 4- и div puy* -j- w div puty*) dD.

D

Это соотношение справедливо при выполнении нескольких условий, а именно предположения, что

divpu = О,

divpu* =0;

требования, чтобы компоненты решения ф* удовлетворяли условиям гладкости, предельным соотношениям

рW* = 0 при z = 0,

и, наконец, условиям периодичности решений в плоскости (х, у). Мы видим, что в этом случае имеет место соотношение

Таким образом, оператор А является кцсосимметричным. Нашей задачей является построение сопряженных уравнений, соответству­ ющих эволюционным задачам. С этой целью наряду с (2.4) введем в рассмотрение сопряженную задачу

Для нее, как нетрудно убедиться, будем иметь тождество, ана­ логичное (1.13), однако уже для нового пятимерного фазового пространства

которое в развернутой форме имеет вид

166

Эта формула указывает на связь между температурой в заданной точке пространства в момент времени t = Т и начальным (при t = 0) состоянием атмосферы. Напомним, что в формуле (2.12) и о, ѵо и O’,, заданы в начальный момент времени, а uj, Dq, — решения сопря­ женных уравнений при условии (2.11).

6.3. БАРОКЛИННАЯ МОДЕЛЬ АТМОСФЕРЫ В НЕАДИАБАТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассмотрим более полную систему уравнений динамики атмо­ сферы с учетом турбулентного обмена и заданными источниками тепла. Тогда будем иметь

Вкачестве граничных условий рассмотрим следующие:

-|^- = a s (d — 'ö’), pw —0 при z = 0,

<72

167

Здесь as — коэффициент теплопередачи, который временно пред­

положим равным нулю на суше и на полярных льдах, а # — темпе­ ратура поверхностного слоя океана, которая предполагается в дан­ ной модели известной.

На границе области в плоскости (х, у) ставится условие пери­ одичности решения.

Предполагается, что решение имеет абсолютно непрерывные производные первого порядка от и, ѵ и ■ö по времени и второго по­ рядка по всем пространственным переменным. Введем в рассмотрение матричный оператор

и вектор

и

V

Ф = W .

ф

й

Тогда приходим к задаче

168

и сформулируем следующую задачу:

при этом компоненты вектор-функции ф* удовлетворяют требованиям гладкости, условиям периодичности на границе области и условиям

д Ф*

asft*, рw* О при z = О,

dz

Уравнение (3.4) скалярно умножим на ф*, а уравнение (3.5) — на ф, проинтегрируем по времени в пределах от 0 до Т и результат вычтем Друг из друга. Тогда в покомпонентной форме приходим к соотно­

шению

169