Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Предположим, что нас интересует прогноз среднего поля темпе­ ратуры по области G {х, у £ а, Os ^ z s ^ k ) . Тогда «начальные» для сопряженных уравнений условия выберем в виде

где X — совокупность координат (х , г/, z).

Введем в рассмотрение обозначение для средней по области G аномалии температуры в момент времени t = Т:

— J рb TdD =рйу.

свелась к решению сопряженной задачи (3.7), (3.8) при условии

(3.11).

В настоящем параграфе была построена теория возмущений при специальном задании начальных условий для системы сопряженных уравнений и при однородных граничных условиях. Покажем, что возможны и другие постановки задач для системы сопряженных уравнений, которые приводят к формулам теории возмущений, удобным для практического использования. В самом деле, рассмо­ трим систему уравнений (3.1) вместе с граничными условиями (3.2) и начальными данными (3.3). Рассмотрим далее сопряженную систему уравнений (3.7).

Граничные условия для системы (3.7) определим следующим

где /* (X, у, t) зададим в форме

/* = б(t — Т), если (х, у) € G0,

/* = 0, вне указанной области.

Здесь G0 — некоторая область на поверхности Земли, где требуется дать прогноз средней аномалии температуры.

170

В качестве начальных данных для сопряженной задачи возьмем

С помощью основной и сопряженной задач и уже рассмотренной техники получим функционал

Сравнивая формулу (3.15) с (3.12), видим, что они совпадают, если выбрать в (3.12) G = Go. В этом случае, как нетрудно убе­ диться, будут совпадать и решения сопряженных уравнений, по­ скольку безразлично, задать ли мгновенный «источник» при t = Т на Go в граничных условиях или задать его на Go в момент времени t — Т как условие Коши.

До сих пор мы предполагали, что задача состоит в рейіении долго­ срочного прогноза погоды на момент времени t = Т по отношению к начальному t = 0. Естественно, что при рассмотрении месячных или сезонных прогнозов нет смысла так точно определять момент предсказания аномалий температуры или других элементов. Мето­ дически было бы более правильно находить прогноз средней анома­ лии температуры за некоторый интервал времени. Например, при прогнозе погоды на ближайший месяц было бы целесообразно дать

то в этом случае было бы достаточно дать осредненный по времени прогноз за первый, второй и третий месяцы сезона. Поскольку осред­ нение прогноза приводит к дополнительной фильтрации метеороло­ гических шумов, то такая процедура повысила бы информатив­ ную значимость прогноза. Это значит, что наш подход к получению формул теории возмущений нужно несколько изменить.

171

С этой целью в качестве граничных условий для системы сопря­ женных уравнений выберем следующие:

Вчастном случае, естественно, они могут быть постоянными.

Вкачестве начальных данных для сопряженных уравнений примем

При граничных условиях (3.18) и начальных данных (3.19) обыч­

Сравнивая формулу (3.20) с (3.15) и (3.12), видим, что формально они совпадают друг с другом, изменяется лишь смысл сопряженного решения. На практике, конечно, удобно выбирать функции и р* гладкими и положительными. В этом случае соотношение (3.21)

6.4.

М ЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФ ОРМ АЦИИ ПО ОТНОШ ЕНИЮ К АНОМ АЛИЯМ СРЕДНЕЙ ТЕМ П ЕРА ТУ РЫ И ДО ЛГОСРО ЧН Ы Й ПРОГНОЗ

Формулы теории возмущений, определенные в предыдущем пара­ графе, позволяют дать толкование решения сопряженной задачи в качестве ценности информации по отношению к аномалии темпе­

172

ратуры в заданной области. Для того чтобы это пояснить, необходимо хотя бы качественно описать динамику решения сопряженной задачи

где компонентами вектора В ф£, например, выбраны условия (3.11). Нетрудно представить себе, что при t — Т, согласно условиям (3.11),

за счет переноса субстанций область ненулевых начальных данных переместится на запад примерно на расстояние и At, на север (или юг) на V At и по z на w At, где At = Т — t. Конечно, сразу же при этом возникнут гравитационные волны — волны Россби, которые «размажут» эту картину, расширив область возмущений и т. д. В результате турбулентной диффузии интенсивность полей компо­ нентов сопряженных функций постоянно будет уменьшаться, в пре­ деле при t -V — оо стремясь к нулю. Это значит, что при достаточно далеких прошлых моментах времени по отношению к моменту t = Т за счет диссипативных процессов информация о начальных полях уже не будет полезной, так как превращается в метеорологические шумы. В математической модели это и выражено тем, что первый интеграл в формуле (3.12) при t ->■ —°° будет стремиться к нулю, а вариации температурной аномалии определятся только потоком тепла из океана, т. е.

__ т

Это предельное соотношение позволяет сделать весьма важное за­ ключение о роли океана в формировании аномалий температуры в долгосрочном прогнозе погоды. Более того, структура формулы (4.2) указывает на тот факт, что сопряженная функция ■&* — решение сопряженной задачи — является функцией влияния в отношении

кпрогнозируемым вариациям.

Всвязи с тем что сопряженное решение является в конечном

итоге основным критерием значимости информации по отношению и рассматриваемому функционалу задачи, его можно назвать цен­ ностью информации.

6.5. О БЩ АЯ ТЕО РИ Я ВОЗМ УЩ ЕНИЙ Д Л Я ЭВОЛЮ ЦИОННЫ Х ЗАДАЧ

В предыдущих параграфах настоящей главы была построена теория возмущений в предположении, что истинное поле вектора скорости мало отличается от климатического. На самом деле при прогнозах погоды, особенно на короткий срок, приходится иметь Дело с весьма существенными отклонениями полей метеорологи­ ческих элементов от климатических и в этом случае теория малых

173