Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

возмущений уже оказывается недостаточной. Поэтому мы приходим к необходимости создания более полной теории, не связанной с пред­ положением о малых возмущениях. С этой целью в качестве основ­ ного «невозмущенного» состояния атмосферы будем рассматривать климатическое состояние. Реальное состояние атмосферы будем называть возмущением. Пусть невозмущенное состояние атмосферы описывается основной задачей (3.4)

В фазовом пространстве D X Т введем в рассмотрение скалярное произведение

Умножим далее скалярно уравнение (5.1) на ф*, а уравнение (5.2) на ф и результаты вычтем друг из друга. Тогда, используя начальные данные и условия, связывающие компоненты ф и ф* на границах

и сопряженных уравнений в невозмущенном состоянии связаны зависимостями (5.4)—(5.6).

Наряду с невозмущенным состоянием теперь рассмотрим воз­

174

К задаче (5.7) присоединим сопряженную задачу, соответствующую невозмущенному состоянию атмосферы

Как и прежде, скалярно умножим уравнение (5.7) на ф*, уравнение (5.8) на <р' и результаты вычтем. Тогда приходим к соотношению, аналогичному (5.4)

где В — некоторый функционал, связанный с тем, что граничные условия для компонентов решения ф могут оказаться неоднородными.

где А, ф и / — оператор и векторы, соответствующие невозмущен­

Формула (5.12) будет основной для получения различных про­ гностических выражений для искомых функционалов задач.

6.6. ТЕО РИ Я ВОЗМ УЩ ЕН Д Л Я ЗА ДА Ч ПРОГНО ЗА ПОГОДЫ

Переходим к покомпонентной записи формул теории возмущений. С этой целью рассмотрим возмущенную систему уравнений атмосфер­ ных движений

175

и условиями периодичности решения по (х, у). Здесь ф' = О -f бй,

Ь' = б1 б$, O' и ф — климатические температуры соответственно воздуха на уровне будки и поверхностного слоя трения океана,

а 6# и бі} — отклонения от климатических значений. В качестве начальных данных примем

Далее, рассмотрим сопряженную систему, соответствующую не­ возмущенному состоянию атмосферы

при граничных условиях

а также в предположении периодичности решения по (х , у) и началь­ ных данных

176

где u£, Vj и 'öy — функции, которые будут определены в даль­ нейшем.

Прежде чем переходить к конструкции формул теории возмуще­ ний, введем в рассмотрение следующие обозначения:

Л = А -j- 6А , ctg = ctg -]- öctg.

В соответствии с рассмотренной формальной процедурой основное

с последующим сложением. Результат проинтегрируем по всему фазовому объему D X Т . Тогда с помощью простых преобразований приходим к выражению

оs

В(6.7) предположим, что возмущения операторов и решений отсутствуют. Тогда получим формулу

Формулу теории возмущений перепишем в окончательной форме:

-j— й*бЛГ) рсШ + д f dt f [asöä + öasflF' —#')]#* dS. (6.10)

Если теперь в качестве начальных условий для сопряженных уравнений возьмем условие (3.11), то приходим к формуле для ано­ малий средней температуры

оs

Проведем некоторые упрощения формулы (6.11) в том случае, когда срок прогноза достаточно велик (например, месяц). В этом случае, как было отмечено раньше, влияние начальных данных будет мало, поскольку интенсивность величин и*, ѵ* и О* со временем за счет диссипации будет уменьшаться. Тогда формула (6.11) при­

Если предположить, что сопряженная задача решается при

Смысл этой формулы весьма прозрачен, а именно первый член в пра­ вой части (6.13) описывает вклад в аномалию температуры за счет взаимодействия атмосферы и океана, при этом член

г

q j dt j as6M* dS

178